微分几何论文曲率

姓名：学号：摘要曲率是用来刻画曲线的弯曲程度，直观上当一点沿曲线以单位速度进行时，方向向量转动的快慢反应了曲线的弯曲程度。半径小的圆的弯曲得厉害。曲率的弯曲程度在工程技术、自然科学和日常生活中有着重要的作用。曲线曲率的应用广泛，本文就此简单介绍一下曲线曲率。关键词：空间曲线；平面曲线；曲线曲率；全曲率；相对曲率1.空间曲线的曲率设给定的空间曲线)(:srr是3C类曲线，其中s为曲线的自然参数，在其上赋予Frenet标架)(),(),();(ssssr，则参数s的变化导致标架基本向量的变化，而标架的变化刻画出曲线在一点邻近的形状[2]。r是)(s对s的旋转速度，它刻画出在s点邻近的弯曲程度。对于曲线)(:srr，称)()(srsk为曲线在s点的曲率，当0)(sk时，其倒数)(1)(sks称为曲线在s点的曲率半径。注：曲率)(sk为对s的旋转速度，并且)()()(ssks。事实上，krrrr.定理：空间曲线)(:srr为直线的充分必要条件是其曲率0)(sk.证明：若为直线bassr)(，其中a和b都是常量，并且1a，则0)()(srsk；反之，若0)()(srsk，则osr)(，两次积分后有bassr)(，所以该曲线是直线。设曲线的一般参数表示为)(trr，则有222')()()(dtsdrdtdsrtrdtdsrdtdsdsrdtr　，于是3222')()(dtdsrrdtsdrdtdsrdtdsrrr3')(,sindtdsrrrrrr因为',,1rdtdsrrr，所以3''rkrr。由此得到曲率的一般参数表达式3''rrrk（2.1.1）设给定空间曲线，在其上一点)(sp的主法向量的正侧取线段pc，使得pc的长度为k1，以点C为圆心，以为半径在点)(sp的密切平面上确定一个圆，则这个圆称为曲线在点)(sp的曲率圆（密切圆），曲率圆的圆心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。例1.试求圆柱螺线)0,0,(,sin,cosbatbttatar　　，ba、均为常数的曲率。解：因为bttatar,sin,cos，所以0,cos,sin,0,sin,cos,,cos,sin''''tatartatarbtatar　　因此422'2'22',,cos,sin,abarratabtabrrbar　　　将以上各式代入曲率的公式，可得223''baarrrk所以圆柱螺线的曲率是常数。2.空间曲线的全曲率本节记二阶连续可微的弧长s参数化闭曲线为;2,1,0)()()(,0::)()(3nsrlsrsrsElrCnn　，　，　　记C的全长为l，全曲率CdsskK)(；记C的切线像为)(,0::3**sTsElTrC　　　　　总记*C的弧长微元dsskds)(*。显然，*C当0)(sk时以s为正则参数，而且此时连续可微正则闭曲线*C的全长为[5]+[9]0)(*KdssklC（2.2.1）直接观察可知，当C为圆周时2*Kl。对一般的闭曲线C进行观察，直观判断其“弯曲程度总和”应不低于圆周，从而可以猜断成立2*l。*C的长度还可以通过观察其与单位球面的任一大圆弧的交点数目而做出猜测；事实上，对任一给定方向，以之法向必至少存在C的两张切平面（允许重合但注意切点的不同），故*C与单位球面上的任一大圆弧的相交次数至少为2.定理：3E中的二阶连续可微闭曲线C的全曲率2K，且等号当且仅当C为平面上的二阶连续可微凸闭曲线时成立。引理1.若闭曲线C的连续的切线像*C落在一闭半球B上，则*C必落在B的边界大圆上，且此时C必为连续可微的平面闭曲线。证明：不妨令B为以p为北极的北闭半球面，则*C落在B上即为0*pr。故有0)(00'*lCCprdsprdspr而Tr*是连续函数，从而只有lspTpr,00*　，此即*C落在B的边界大圆上。进一步注意到lsdupurprpsrs,00))(()0()(0'　，即知C落在以p为法向的某张平面之上。推论1.连续的切线像*C不可能落在单位球面的任一半球面内。推论2.若连续的切线像*C落在单位球面的任一大圆之上，则*C含有该大圆的无穷多个对径点。推论3.平面二阶连续可微闭曲线C的全曲率2K，且等号当且仅当C为平面二阶连续可微凸闭曲线时成立。引理2.若二阶连续可微闭曲线C的全曲率2K，则其切线像*C落在某一闭半球面上。证明：考虑*C全长的二等分点)0(:TA和)(:osTD,其中),0(lso使osKdssk02)(，这由k是非负连续函数可知是合理的。记*C上A和D之间的正向弧段分别为3,0::EsTADo和3,::ElsTDAo，则两弧段的相应长度为22)()(*KlDAlADl（2.2.2）以下分两种情况讨论：情形1：A和D互为单位球面上的对径点，即)()0(osTT。此时A与D之间的测地线大圆弧的长度为，从而)()(DAlADl和都不小于；故由（2.2.2）式知)()(DAlADl和都等于，从而DAAD和都是半条大圆弧，则此时*C落在DAAD所在的闭半球面上。情形2：若A和D不是单位球面上的对径点对，则取A与D之间的测地线大圆劣弧的中点M，p为北极点做闭半球面B，考虑*C与B的包含关系。当*C上的点对A与D之间的正向弧段AD与赤道有公共点时，取一个公共点E，则AD可分为正向弧段AE与正向弧段ED，且由（2.2.2）式可知成立相应长度关系)()()(EDlAElADl(2.2.3)记E在单位球面上的对径点为F，则E与F之间的测地线大圆弧段（用下划线表示）的长度恒为，特别对分别过A或D两点的半大圆弧有)()()(FAElAElFAl（2.2.4）)()(EDlFAl（2.2.5）注意到测地线大圆弧段的最短性，由（2.2.3）、（2.2.4）和（2.2.5）式即得)()()()(FAlAElEDlAEl从而只能有AE与AE重合且ED与ED重合，此时弧AD落在B上当弧AD与赤道没有公共点时，由弧AD连续性可知其落在B上。同理可证弧DA无论是否与赤道有公共点，也只能落在B上。故在此情形下*C落在B上。综合以上两种情形，得证。定理：设C是3E中的一条打结的二阶连续可微简单闭曲线，则C的全曲率不小于4。3.平面曲线的曲率考察上图中由参数方程,)()(ttyytxx　，给出的光滑曲线C，我们看到弧段PQ与QR的长度相差不多，而其弯曲程度却很不一样。这反应为当动点沿曲线C从点P移至Q时，切线转过的角度比动点Q移至R时，切线转过的角度要大得多[10]。设)(t表示曲线在点))(),((tytxP处切线的倾角，)()(ttt表示动点由P曲线移至))(),((ttyttxQ时切线倾角的增量。若PQ之长为s，则称sk为弧段PQ的平均曲率，如果存在有限极限dsdsskst00limlim，则称此极限k为曲线C在点P处的曲率。由于假设C为光滑曲线，故总有)()(cot)()()(arctan)(''''tytxarcttxtyt　或　又若)(tx与)(ty二阶可导，则由弧微分22dydsds可得232'2''''')()()()()()()()(tytxtytxtytxtstdsd所以曲率计算公式为232'2'''yxyxyxk（2.3.1.1）若曲线由)(xfy表示，则相应的曲率公式为232'1yyk（2.3.1.2）例1.求椭圆)20(sincosttbytax　，　上曲率最大和最小的点。解:由于tbytbytaxtaxsincoscossin''　，　，　，因此由（2.3.1）式得椭圆上任意点处的曲率为232222232222sin)(cossinbtbaabtbtaabk当0ba时，在、0t（长轴端点）处曲率最大，而在232、t（短轴端点）处曲率最小，且2min2maxabkbak，。若Rba，椭圆成为圆时，显然有Rk1，即在圆上各点处的曲率相同，其值为半径的倒数。例2.抛物线cbxaxy2上哪一点的曲率最大？解：由于aybaxy22'　，，因此由（2.3.2）式得椭圆上任意点处的曲率为232))2(1(2baxakak2max，这时abxbax2,02，即在点aacbab44,22处曲率最大，因为)44)2(()(2222abacabxaacabxxay，所以这一点恰是抛物线的顶点。例3.如果光滑曲线以极坐标形式给出，试导出它的曲率计算公式。解：设曲线的极坐标方程为)(，相应的参数方程是sin)(cos)(yx将sin)(cos)(2sin)(cos)(sin)(2cos)(cos)(sin)(sin)(cos)(''''''yxyx　、代入参数方程下的曲率公式232'2'''yxyxyxk中并化简，得极坐标方程表示下的曲率公式232'22'2))()(()()()(2)(k。在研究许多问题时，在曲线)(:xfy的某一点),(oooyxM附近用一段圆弧)(xy去近似地代替它会带来很多好处，显然代替时，有如下要求：（1）圆弧与曲线都通过点),(ooyx,即)()(ooxfx；（2）圆弧与曲线在点),(ooyx有公共切线，即)()(''ooxfx；（3）圆弧与曲线在点),(ooyx有相同的弯曲方向与弯曲程度，即232'232'))(1()())(1()(ooooxfxfxx，且)(ox与)(oxf同号，因而)()(ooxfx。满足上述三个条件的圆弧所在的圆称为曲线在点oM处的密切圆或曲率圆[11]。由于密切圆与曲线在点oM处有公共切线，所以密切圆的圆心位于曲线在oM处的法线指向凹向的一侧。密切圆的半径是它的曲率的倒数)())(1(1232'ooxfxfkR设密切圆的方程是222)()(Rbyax，求一、二阶导数有0)(10)(2''ybyyybyax，由于有上述三个条件，以oxx代入密切圆的一、二阶导数里得0)())(()(10)())((2''ooooooxfbxfxfxfbxfax由此可解得)()(1)()(1)(2'2''oooooooxfxfybxfxfxfxa称),(ba为曲线在点oM处的曲率中心。4.平面曲线的相对曲率在所在的平面上，平面曲线的每一点处有唯一的一条法线（即过该点且垂直于切线的直线），其连续可微的单位法向量场可由单位切向和所在平面的定向如下确定[5]，在坐标平面xOy平面之上的弧长参数化曲线)(:srrC，其参数方程简记为)}(),({)(sysxsr；则其单位切向)}(),({)(''sysxsT。定义1.给定二阶连续可微的