微分方程全解

教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解方法难点：一阶线性非齐次微分方程的通解重点：可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程第二讲一阶微分方程的解法主视图一阶微分方程解法可分离变量法齐次微分方程一阶线性微分方程解题步骤一阶齐次微分方程一阶非齐次微分方程常数变异法通解伯努利方程dxxfdyyg)()(则称为可分离变量的微分方程.5422yxdxdy例如,2254dxxdyy解法设函数)(yg和)(xf是连续的,两边积分得dxxfdyyg)()(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,CxFyG)()(为微分方程的通解.分离变量法如果一阶微分方程能化为可分离变量法例求解微分方程.2dyxydx的通解解分离变量,2xdxydy两端积分得,2xdxydy12lnCxy.2为所求通解xcey故:例题例求微分方程0)1()1(22dyxxydxy满足初始条件2)1(y的特解．解分离变量，得dxxxdyyy)1(1122dxxxxdyyy22111Cxxyln21)1ln(21ln)1ln(2122两边积分)ln(1)(1ln(222Cxyx）因此，通解为222(1)(1)xyCxCR于是，所求特解为22210)1)(1(xyx例题例衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成正比,已知00MMt,求衰变过程中铀含量)(tM随时间t变化的规律.解,dtdM衰变速度由题设条件)0(衰变系数MdtdMdtMdM,dtMdM00MMt代入,lnlnctM,tceM即00ceM得,CteMM0衰变规律例题回主视图利用微分方程解决实际问题的步骤：一、利用问题的性质建立微分方程，并写出初始条件；二、利用数学方法求出方程的通解；三、利用初始条件确定任意常数的值，求出特解．解题步骤回主视图)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程1.定义,0)(时当uufxdxuufdu)(得齐次微分方程例求解微分方程，令xyu，则udxxdudy把变量代回得微分方程的解为解.tan2xyxyy.tan2xdxudu.lnlnln2sinln2cxcxu.sin2cxu.sin2cxxy例题,xyu令,dxduuydydy则例求解微分方程解微分方程的通解为023(22xydxdyxy）满足初始条件10xy的特解．原方程可化为yxyxxyxydydx23123222uudyduy2512dyyduuu15122Cyuln51ln)51ln(512Cyxy325510xy1C将初始条件代入通解中，得到所求特解为15325yxy例题例求解微分方程解11yxdxdy令,xyu则,yxudxdudxdy1111udxduudxdu1分离变量，并两边积分Cxu22Cxyx2)(2微分方程的通解为例题回主视图)()(xQyxPdxdy一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当上方程称为一阶线性齐次方程.上方程称为一阶线性非齐次方程.,0)(xQ当例如,2xydxdy,sin2ttxdtdx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的.一阶线性微分方程回主视图.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey线性齐次方程(使用分离变量法)一阶线性齐次微分方程解法回主视图线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy讨论:设y=f(x)是解,则,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf变形积分,)()()()(lndxxPdxxfxQxf,)()()()(dxxpdxxfxQeexf非齐方程通解形式()()()()dfxPxfxQxdx,)()()(dxxfxQexc记dxxpexcxfy)()()(一阶线性非齐次方程解法回主视图把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设解为dxxPexcy)()(,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC得)()(xQyxPdxdy代入原方程和将yy),()()(xQexcdxxP,)()()(CdxexQxcdxxP积分得))(()()(CdxexQeydxxPdxxP非齐方程通解常数变易法例求解微分方程cot2sin.yyxxx．对应齐次方程为cot0yyx1cotdyxdxycotlnsinsinxdxxyCeCeCx()sin.yCxx令()sin()cosyCxxCxx则有:xxC2)(CxxC2)(故所求通解为2()sinyxCx分离变量得两边积分有代入原非齐次方程，得常数变易法例题.sin2)(,cot)(xxxQxxP).(sin)2(sin)sin1sin2(sin)sin2()sin2(2sinlnsinlncotcotCxxCxdxxCdxxxxxCdxexxeCdxxexeyxxxdxxdx根据公式有:公式法例题例求微分方程02)6(2yyxy满足初始条件12xy的特解．解这个方程不是未知函数y与y的线性方程，但是可以将它变形为yyxdydx26223yxydydx若将x视为y的函数，则对于)(yx及其导数dydx而言，方程(11)是一个线性方程，由通解公式(10)得Cdyeyexdyydyy332Cyy2132,1xy23C以条件代入，得因此，所求特解为2232yyx例题回主视图例求解微分方程.)(ln2yxaxydxdy解原方程不是线性方程，但通过适当的变换,可将它化为线性方程．将原方程改写为.ln112xayxdxdyy.ln111xayxdxdy1,zy令1ln.dzzaxdxx则有由通解公式，得通解].)(ln2[2xaCxz所以，原方程通解为.1])(ln2[2xaCxy例题回主视图一阶线性非齐次微分方程的通解为:))(()()(CdxexQeydxxPdxxPdxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和.的通解是)()(xQyxPdxdy所以通解回主视图的方程,称为伯努利(Bernoulli)方程.nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为非线性微分方程.时，当1,0n方程为线性微分方程.时，当1,0n解法:经过变量代换化为线性微分方程.一般地,形如1nzy即令,则上式化为)()(11xQzxPdxdzn)()1()()1(xQnzxPndxdz从而化为一阶线性方程伯努利方程回主视图