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微分方程方法总结一阶或可降为一阶微分方程微分方程类型方程通式及解法可分离式微分方程g(y)dyf(x)dxC，其中G(y)g(y)dy，F(x)f(x)dx解为G(y)F(x)齐次方程dyf(x,y)且f(x,y)中每一个单项式的x,y指数和相等（如dxx32x2y3xy24y3）ydydyy令uux代入方程后再将u代回求解xdxdxx一阶线性微分方程dyP(x)yQ(x)dxdxexQedxxPdxxP)()()(解为yCeP(x)dx伯努利方程dyP(x)Q(x)yn(n0,1)dxdy(1n)yn后将z代入得到则伯努利方程左右同乘dxx)按一阶线性微分方程解法求得z后反代得y令zy1ndz(1n)yndxdz(1n)P(x)z(1n)Q(dx全微分方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0且PQyx（可能解为隐函数），其中(x0,y0)为单连通域上适解为x0P(x,y)dxy0Q(x,y)dyC当点（一般取x0y00）可降阶的高阶微分方程y(n)f(x)反复积分直至求得y直接对y(n)2014.6.25yf(x,y)则有pf(x,p)可用一阶方式求解得p(x)再代回y继续运算令py，yf(y,y)dpdydpyp解得p(y)后代入y分离变量继续求解dydxdy令py，则线性微分方程微分方程类型方程通式及解法常系数齐次线性微分方程ypyqy00qpr（以二阶为例）特征方程：r2r1,r2为实根且r1r1,r2为实根且r1r1,2i时C1C2xC3x2常系数非齐次线性微分方程（以二阶为例）ypyqyf(x)Y为ypyqy0的通解，y*为ypyqyf(x)的特解y*xkQm(x)ex,其中k按不是特征方程根、是单根、是重根取0、1、2，Qm为与Pm同次多项式，系数待定，将y*代入原方程后根据等式两边系数相等解多元方程y*xkexRm(1)(x)cosxRm(2)sinx,其中mmaxl,n，k按i(或i)cosxPn(x)sinx时不是、是特征方程单根取0、1，与上同理求得Rm(1)，Rm(2)中所有待定系数后得解解为yYy*，其中当f(x)exPm(x)时xPl(x)当f(x)e2014.6.25