微分方程概念1

微分方程:表示自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式称为微分方程.例,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy,yxxz微分方程的定义常微分方程,偏常微分方程.本章内容。,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy主要讨论：f在讨论的范围内连续。且用积分方法可解的方程（初等解法）。补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数以及初等函数的积分表示出来)微分方程的基本概念引例几何问题物理问题例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy22,1yx时其中xdxy2,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为14.0Ctdtdsv2122.0CtCts例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,tssst米秒钟行驶设制动后4.022dtsd,20,0,0dtdsvst时224.0dtsd重点几种标准类型的一阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难点求常系数非齐次线性方程的通解如何从实际问题中建立微分方程微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy例,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,)(阶导数上有在区间设nIxy.0))(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数（独立）与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,yy例;xcey通解,0yy;cossin21xcxcy通解解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.例3验证:函数ktCktCxsincos21是微分方程0222xkdtxd的解.并求满足初始条件0,00ttdtdxAx的特解.可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程.5422yxdxdy例如,2254dxxdyy标准解法设函数)(yg和)(xf是连续的,dxxfdyyg)()(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,CxFyG)()(为微分方程的通解.分离变量法标准型特点：经过适当整理，可使方程两边只含有一个变量和其微分证明：1。要证所确定隐函数是方程的解CxFyG)()()()(xFyyG于是)()(xfyyg即所确定隐函数是方程的解。CxFyG)()(2。要证若y=y(x)是方程的解，则满足CxFyG)()(设y=y(x)是方程的解，则有dxxfxdyxyg)()())((两边对x积分，有dxxfxdyxyg)()())((从而，y=y(x)满足CxFxyG)())((.)1(21通解求方程例yxy解分离变量)1(21yxdxydy两边积分，有xdxydy21得12|1|lnCxy即121Cxey令)0(1CeCC则通解为)0(12CCeyx注意到C=0时，y=-1亦是方程的解，于是方程通解为12xCey，C为任意实数。说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.小结：求通解时，一般在分离变量时，因变形可能丢失个别解，有两种情况（1）让C任意就含在通解内；（2）不在通解内，其若是解称为奇解。说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程y=–x及y=C因此以后可形式求解如下：解分离变量xdxydy21两边积分，有xdxydy21得12)1ln(Cxy于是12xCey为方程通解（C为任意实数）。原函数有对数时，可不加绝对值.)1(21通解求方程例yxy例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y齐次方程（可化为可分离变量）一、齐次方程)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程1.标准型例1求微分方程的通解.0cos)cos(dyxyxdxxyyx解，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu微分方程的通解为.lnsinCxxy一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy标准型:,0)(xQ当称为齐次的.称为非齐次的.,0)(xQ当一、一阶线性方程例如,2xydxdy,sin2yyxdydx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的..0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次线性方程的通解为.)(dxxPCey1.先求齐次线性方程通解解法2.用常数变易法，求非齐次线性方程的解常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换dxxPexuy)()(,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxuexuy代入原方程得和将yy),()()(xQexudxxP)()(xQyxPdxdy代入原方程得和将yy,)()()(CdxexQxudxxP),()()(xQexudxxP积分得一阶非齐次线性方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx解例1dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([例2如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.y)(xfy)0(3xxy)(xfxyxydx03,两边求导得,32xyy解解此微分方程xyoxPQ3xy)(xfydxexCeydxdx23,6632xxCex,0|0xy由,6C得所求曲线为).222(32xxeyx23xyydxxPdxxPeCdxexQy)()(])([;1.3yxdxdy解11yeCxy或.yxdydx方程变形为])([)()(CdyeyQexdyyPdyyP,sin2yyxdydx标准形式:nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、伯努利(Bernoulli)方程(可化为一阶线性方程的方程)时，当1,0n时，当1,0n解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,1nyz令),()(1111xQyxPdxdynnn),()(1xQyxPdxdyynn),()1()()1(xQnzxPndxdz，得两端除以ny代入上式.))1)((()()1()()1(1CdxenxQezydxxPndxxPnnnyxQyxPdxdy)()(.42的通解求方程yxyxdxdy,412xyxdxdyy,422xyxdxyd,2解得2Cxxy.224Cxxy即解，得两端除以ny例3方法推广：利用适当变量代换，化方程为可求解类型。.)(52的通解求例yxdxdy解,uyx令1dxdudxdy代入原方程21udxdu,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为.)tan(xCxy例4用适当的变量代换解下列微分方程:;22.122xxexyyy解,令2yz,22xxexzdxdz][222Cdxexeezxdxxxdx所求通解为).2(222Cxeyx;2)(222xxexyy;)(sin1.22xyxyxdxdy解,xyz令,dxdyxydxdz则,sin1))(sin1(22zxyxyxxydxdz,42sin2Cxzz分离变量法得,代回将xyz所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy练习题1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf