微分方程模.

可分离变量的微分方程•可分离变量的微分方程的解法•例求微分方程的通解••)(pNkpdtdpkdtpNpdp)(解分离变量后得一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程;机动目录上页下页返回结束对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动目录上页下页返回结束),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy2121实根xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx特征根通解机动目录上页下页返回结束二阶常系数齐次线性微分方程:动态问题•描述对象特征随时间(空间)的演变过程•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段•根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模•根据建模目的和问题分析作出简化假设•按照内在规律或用类比法建立微分方程微分方程建模一般处理动态连续问题微分方程建模是数学建模的重要方法之一，因为在自然科学以及在工程、经济、军事、社会等学科中，许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把各种实际问题化成微分方程的定解问题，建立微分方程模型，可按以下步骤：1.根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系。2.找出这些量所满足的动态特征和基本规律。3.运用这些规律列出方程和定解条件，从而建立微分方程模型。建立微分方程模型，其方法归纳有：1.根据规律列方程。利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定律，如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等建立问题的微分方程模型。2.微元分析法。自然界中的许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知规律建立变量的微元之间的关系式，再通过取极限的方法得到微分方程模型。3.模拟近似法。在生物、经济等学科中，许多现象的规律并不很清楚，而且相当复杂。常常需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，根据假设，模拟实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法给出微分方程模型。下面举几个微分方程建模的例子。一、按规律列方程例1（放射性废物的处理问题）有一段时间，美国原子能委员会（现为核管理委员会）是这样处理浓缩放射性废物的，他们把这些废物装入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里。这种做法是否会造成放射性污染，很自然地引起了生态学家及社会各界的关注。原子能委员会一再保证，圆桶非常坚固，决不会破漏，这种做法是绝对安全的。然而一些工程师们却对此表示怀疑，他们认为圆桶在和海底相撞时有可能发生破裂。而原子能委员会的专家们则仍然坚持自己的看法。于是，双方展开了一场笔墨官司。究竞谁的意见正确呢？看来只能让事实来说话了。问题的关键在于圆桶到底能承受多大速度的碰撞，圆桶和海底碰撞时的速度有多大？工程师们进行了大量破坏性实验，发现圆桶在40英尺/秒的冲撞下会发生破裂，剩下的问题就是计算圆桶沉入300英尺深的海底时，其末速度究竟有多大了。美国原子能委员会使用的是55加仑的圆桶，装满放射性废物时的圆桶重量为W=527.436磅，而在海水中受到的浮力B=470.327磅。此外，下沉时圆桶还要受到海水的阻力CvD其中C为常数,通过实验，测得C=0.08.DBWdtydm22gWmvCDvdtdy)(BWWgvWCgdtdv取一个垂直向下的坐标，并以海平面为坐标原点（y=0）.于是，根据牛顿第二定律，圆桶下沉应满足微分方程（1）其中（1）可改写成（2）如果极限速度不超过40英尺/秒，那么工程师们可以罢休了。然而事实上，和40英/秒的承受能力相比，实际极限速度竞是如此之大，使我们不得不开始相信，工程师们也许是对的。)1()(tWCgeCBWtv)/(86.713)(lim秒英尺CBWtvt(2）式是一阶线性方程，且满足初值条件v(0)=0,其解为（3）由（3）容易计算出圆桶的极限速度为了求出圆桶与海底的碰撞速度，首先必须求出圆桶的下沉时间t,然而要做到这一点却是比较困难的。为此，我们改变讨论方法，将速度v表示成下沉深度y的函数，即改写成))(()(tyvtvdtdydydvdtdvdydvmWBCvdtdyWgdydvCvBWv根据复合函数求导的链锁法则这样，（1）式可改写成或工程师们的猜测是正确的，他们打赢了这场官司。现在，美国原子能委员会己改变了他们处理放射性废物的方法，并明确规定禁止将放射性废物抛入海中。WgyBWCvBWCBWCvln2注意到v(0)=0,y(0)=0，两边积分，得到（4）十分可惜的是，我们无法从非线性方程（4）中解出v=v(y),并进而求出碰撞速度v(300).因此，只得借助数值方法求出v(300)的近似值。计算结果表明，v(300)=45.1英尺/秒40英尺/秒。)ln(2BWCvBWCBWCvgWy令v=40英尺/秒，计算得y=238.4英尺/秒．（注g=32.2英尺/秒）2要证明v(300)40英尺/秒，还可以采用另外的方法．不难看出，v=v(y)是一个单调增加函数，而随着v的增加,y也必增加．因此，如果v=40英尺/秒时，有y300英尺，则当y=300英尺时就必有v40英尺/秒。将（4）改写成此即说明，v(300)40英尺/秒．例2（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。从图中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，根据牛顿第二定律可得：sinmlmg从而得出二阶微分方程：0sin0(0)0,(0)gl这是理想单摆应满足的运动方程上式是一个二阶非线性方程，不易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可考察其近似线性方程：MQPmgl00(0)0,(0)gl由此即可得出2gTl以上方程的解为:θ(t)=θ0cosωtgl其中当时,θ(t)=04Tt42gTl故有近似方程二、微元法列方程例3、车间空气的清洁问题问题：已知一个车间体积为V立方米，其中有一台机器每分钟能产生r立方米的二氧化碳（CO2），为清洁车间里的空气，降低空气中的CO2含量，用一台风量为K立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜空气来降低车间里的空气的CO2含量。假定通入的新鲜空气能与原空气迅速地均匀混合，并以相同的风量排出车间。又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0%的CO2.问经过t时刻后，车间空气中含百分之几的CO2?最多能把车间空气中CO2的百分比降到多少？],[ttt设t时刻（单位为分钟）车间每立方米空气含CO2的百分比为x(t)%,考虑时间区间并利用质量守恒定律：],[ttt],[ttt内车间空气含CO2量的“增加”等于时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加上机器产生的CO2的量减去排出空气中CO2的量。用数学公式表示出来就是00[()()]()()()tttVxttxtKmrtKxsdsxx分析和建模于是，令0t得0)0(0,xxtbxadtdx其中，VKbVrKma,解为tVKbteKrKmxKrKmebaxbatx)()()(00这就是t时刻空气中含CO2的百分比。通常0xKrKm否则含CO2的量只会增加。令t得%)(limKrKmtxt这表明车间空气中含CO2的量最多只能降到%KrKm讨论：如果设V=10000立方米，r=0.3立方米/分钟，K=1500立方米/分钟，m=0.04%，x0=0.12%。试问：（1）需多少分钟后，车间空气中含CO2的百分比低于0.08%?（2）车间空气中含CO2的百分比最多只能降到多少？例4l某人的食量是10467焦/天，其中5038焦/天用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦/公斤·天乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量全部有效，而1公斤脂肪热量相当于41868焦，试研究此人的体重随时间变化的规律，建立数学模型并求解。解题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W）看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的微分方程。dWdt问题中“每天”的体重的变化＝输入—输出其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗。净吸收量/天＝10467（焦/天）—5038（焦/天）＝5429（焦/天）净输出量/天＝66.9（焦/公斤·天）×W（公斤）＝66.9W（焦/天）体重的变化/天＝（公斤/天）Wt0limtWdWtdt这就是所需要的关于连续函数的瞬时关系。注意到有些量是用能量（焦）的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式（公斤）给出，考虑单位的匹配，利用()Wt公斤/天＝焦/天41868焦/公斤因此转换后近似得到(25001200)16W10000dWdt一天开始时他的体重是已知的，因此有00(25001200)16W10000tdWdtWW（10-1）至此，已建立起问题的常微分方程模型。用分离变量法求解13001610000dWdtW1ln1300161610000tWC利用所给初初条件01ln13001616CW从而得到161000001300016130016tWWe三、模拟近似法列方程•简单模型•Malthus模型•Logistic模型人口问题一问题的提出人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首。人口在不断的增长，其增长有无规律可循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。二建模准备资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。近一千年人口统计比较精细。看下图。180010人口（亿）年1930201960301974401987501999602033100我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：17602人口（亿）年19004195361974计划生育9.2199011.6200513联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。198911199512三建立模型1简单模型要预报未来若干年的人口数，两个重要因素：当前的人口数，今后这些年的增长率（出生率-死亡率）0xr一年后，人数增加到)1(0001rxrxxx20002)1()1()1(rxrrxrxxk年后，人口数为kkrxx)1(0若想知道任何时刻的人口数，怎么办？对时间连续化！两年后，2Malthus模型马尔萨斯(Malthus1766--1834)是英国的人口学家。他根据百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的人口指数增长模型。•基本假设：人口净相对增长率为常数。净相对增长率是单位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。设净相对增长率为，时刻人口总数为。rt)(tN经时间后人口总数为t)(ttNrttNtNttN)()()()()()(trNttNttN0t