微分方程稳定性

1目录摘要................................................................................................2ABSTRACT..........................................................................................3前言................................................................................................4微分方程稳定性分析原理....................................................................5捕鱼业的持续收获模型.......................................................................9种群的相互竞争模型.........................................................................13参考文献........................................................................................172摘要微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。【关键词】微分方程；平衡点；稳定性；数学建模3ABSTRACTDifferentialequationstabilitytheoryisanimportanttheoryofdifferentialequations.Differentialequationtheoryistostudythestabilityofthesystembysomequantitativecalculation,alsoisthesysteminthedisturbanceofdeviatingfromtheequilibriumstateaftertheitemwillreturntoequilibriumorisneartheequilibriumposition.Usingdifferentialequationtodescribethecharacteristicsofthematerialmovementdependsontheinitialvalue,andthecalculationofinitialvalueordeterminationoftheinevitablewillappeartheerrorandinterference.Ifthespecialsolutionofthedifferentialequationdescribingthesystemmovementisunstable,theinitialvalueofsmallerrorsandinterferencewillleadtoseriousconsequences.Therefore,specialsolutionisnotsuitablefortheunstableasthebasisofourresearchquestion,onlystablesolutionisweneed.Inthispaper,thefirstorderdifferentialequationofsecondorderdifferentialequationandthebalanceandthestabilityareanalyzed,andthefishingsustainedyieldmodelisestablishedandtwospeciesandtwospeciescompetingmodels.【keywords】Differentialequations;Balance;Stability;Mathematicalmodeling4前言在现实世界里，无论是在自然科学或者是社会科学的各领域中，存在着许许多多的变化规律可以用某些特定的数学模型来进行描述。例如我们通过对该数学模型进行定性分析或者是数值模拟，用得到的结果对描述的变化规律给出相应的数学解释，进而为人们跟进一步地理解和认识相对应的现象，或者对某些过程进行控制。但在实际问题中，有时候我们建立数学模型的目的并不是单纯的为了得到事物变化的某一瞬间的形态，而是为了得到在一段相当长的时间后该变化的趋势。就像在某种条件下描述的过程变量会无限地接近某个确定的数值，在某种情况下描述的过程变量会渐渐地偏离该数值出现过程的不稳定。为了分析该种情况下的稳定和不稳定规律，我们可以直接利用微分方程的稳定性理论来研究平衡状态。5一．微分方程稳定性分析原理1.一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()()xtfx（1.1）如果方程等号右端不是显然含有自变量t，我们就称之为自治方程。代数方程的实根称为方程式（1.1）的平衡点（奇点）。它也是方程（1.1）的解。如果存在某个领域，使方程式（1.1）的解从这个领域的某个点(0)x出发，满足0lim()txtx(1.2)则称平衡点0x是稳定的（渐进稳定）；否则，称0x是不稳定的（非渐进稳定）。判断平衡点0x是否稳定通常使用的方法有两种。利用定义式（1.2）的方法称为间接法。不求方程式（1.1）的因而不方程式（1.2）的方法称为直接法。下面介绍直接法。将()fx在0x点处作泰勒展开，只取一次项，方程式（1.1）可近似为00()()()xtfxxx(1.3)方程式（3）称为方程式（1）的近似线性方程，也是方程式（3）的平衡点。关于0x点稳定有如下结论：（1）.若0()fx0，则对于方程式（1.3）和（1.1）都是稳定的；（2）.若0()fx0，则对于方程式（1.3）和（1.1）都是不稳定的。0x对于方程式（1.3）的稳定性很容易通过定义式（1.2）证明。记0()fx=a，则方程式（3）的一般解为0()atxtcex其中，c是有初始条件确定的常数。显然，当a0时，方程式（1.3）成立。62．二阶方程的平衡点和稳定性二阶方程可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)xtfxxxtgxx（1.4）等号右端不显然含t，是自治方程。代数方程组1212(,)0(,)0fxxgxx的实根011xx，022xx称为方程式（1.4）的平衡点。记作00012(,)pxx。如果存在谋和领域，使方程式（1.3）的解1()xt，2()xt从这个领域的某个12(0),(0)xx出发，满足001122lim(),lim()ttxtxxtx（1.5）则称平衡点0p是稳定的（渐进稳定）；不然，称0p是不稳定的（不渐进稳定）。为了用直接法讨论方程式（1.4）的平衡点的稳定性，先看线性系数方程1112221122()()xtaxaxxtbxbx（1.6）系数矩阵记作122aaAbb为研究方程式（1.6）的唯一平衡点的稳定性，假定A的行列式det0A（1.7）0(0,0)p的稳定性由式（1.6）的特征方程det()0AI（1.8）的根（特征根）决定。方程式（1.8）可以写成更加清晰的形式2120()detpqpabqA将特征根记作12,，则72121,(4)2ppq因此方程式（1.6）的一般解的形式为121212()ttcece或111212()ttcecte其中，1c，2c为任意常数。根据稳定性的定义式（1.5）可知，当12,为负数或有负实部时，0(0,0)p是稳定平衡点；当12,有一个为正数或有正实部时，0(0,0)p是不稳定平衡点。在式（1.7）的条件下，12,不可能为零。微分方程稳定性理论讲平衡点分为结点，焦点，鞍点，中心等类型，完全由特征根12,或者是相对应的,pq取值决定。表一简单明了地给出了这些结果，表中最后一列值是按照定义式（1.5）得到的关于稳定性的结论。由表一可以看出，根据特征方程系数,pq的正负可以判断平衡点的稳定性，准则如下：（1）若p0,q0,则平衡点稳定；（2）若p0或q0，则平衡点不稳定。表一·稳定性条件判定12,,pq平衡点类型稳定性120p0,q0,2p4q稳定结点稳定120p0,q0,2p4q不稳定结点不稳定102q0鞍点不稳定1=20p0,q0,2p=4q稳定退化结点稳定1=20p0,q0,2p=4q不稳定退化结点不稳定1,2=i,0p0,q0,2p4q稳定焦点稳定1,2=i,0p0,q0,2p4q不稳定焦点不稳定81,2=i,=0p=0,qo中心不稳定以上是对线性方程式（1.6）的平衡点0(0,0)p稳定性的结论，对于一般的非线性方程式（1.4），可以用近似线性方法判断其平衡点0(0,0)p的稳定性。在0p点处将12(,)fxx和12(,)gxx做泰勒展开，只取一次项，得到非线性方程式（1.4）的近似线性方程。1212000000112111222000000212111222()(,)()(,)()()(,)()(,)()xxxxxtfxxxxfxxxxxtgxxxxgxxxx（1.9）记系数矩阵为121200012(,)xxxxffApxxgg特征方程系数为10(),detxxpfgpqA显然，0p点对于近似方程（1.9）的稳定性由表一或者准则（1.1），（1.2）决定，而且得出以下结论，若近似线性方程式（1.9）的特征根不为零或者实部不为零，那么0p点对于方程式（1.4）的稳定性与对于近似线性方程式（1.9）的稳定性相同，即由准则（1），（2）决定。最后，提出几点注意事项：（1）平衡点及其稳定性的概念只对自治方程和方程式（1.4）才有意义。（2）非线性方程式（1.4）及式（1.7）的平衡点稳定性分别与相对应的近似线性方程式（1.6）和近似线性方程式（1.9）的平衡点稳定性相同,且是在非临界情况下（0a或者p，0q）才相同。在临界情况下（0a或者p，0q）二者的平衡点稳定性可能不相同。（3）在讨论平衡点稳定性时，对初始点式的要求是存在一个领域，这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点，方程式（1.5）和方程式（1.8）成立，称为全局稳定。对于线性方程，局部稳定和全局稳定是等价的，对于非线性方程，二者不同。（4）对于临界情况和非线性方程的全局稳定，可以用相轨线分析方法讨9论。二．捕鱼业的持续收获模型渔业资源是一种可再生资源，再生资源我们也要注意开发利用。我们既不能为了一时高产而竭泽而渔，那样肯定后破坏渔业资源的再生产；反过来，如果我们过分限制了渔业资源的捕捞，又会造成渔业资源的浪费。在一个渔场中，其中的鱼按照自然规律生长。如果捕捞量等于增长量，那么渔场的总量将保持在某一数值上。最佳捕捞量的确定就是本章节研究的内容。模型假设：1.设在t时刻下渔场的鱼量为()xt；2.在无捕捞的条件下鱼量的增