微分方程数值解习题课

1微分方程初值问题数值解习题课2一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分20xtyedt所确定的函数y在点x=0.5,1.0,1.5的近似值。解：该积分问题等价于常微分方程初值问题2'(0)0xyey其中h=0.5。其向前欧拉格式为2()100ihiiyyhey3改进欧拉格式为22()2(1)10()20ihihiihyyeey将两种计算格式所得结果列于下表iix向前欧拉法iy改进欧拉法iy000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.849694二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题'1(0)1yxyy00.6x取步长h=0.1.解：4步显式法必须有4个起步值，0y已知，其他3个123,,yyy用4阶龙格库塔方法求出。本题的信息有：步长h=0.1；结点0.1(0,1,,6)ixihii；0(,)1,(0)1fxyxyyy5经典的4阶龙格库塔公式为11234(22)6iihyykkkk1(,)1iiiikfxyxy121(,)0.051.0522iiiihkhkfxyxyk232(,)0.051.0522iiiihkhkfxyxyk433(,)0.11.1iiiikfxhyhkxyk算得11.0048375y,21.0187309y,31.0408184y64阶4步阿达姆斯显格式1123(5559379)24iiiiiihyyffff1231(18.55.93.70.90.243.24)24iiiiiyyyyyi由此算出4561.0703231,1.1065356,1.1488186yyy7三、用Euler方法求'1,0101xyeyxxy问步长h应该如何选取，才能保证算法的稳定性？解：本题,1xfxyeyx,0,01xyfxyex本题的绝对稳定域为111xhhe得02xhe，故步长应满足02,00.736heh8四、求梯形方法111[(,)(,)]2kkkkkkhyyfxyfxy的绝对稳定域。证明：将Euler公式用于试验方程'yy，得到11[]2kkkkhyyyy整理11(1)22kkhhyy设计算ky时有舍入误差,0,1,2,kk，则有11(1)22kkhh9据稳定性定义，要想1kk，只须1122hh因此方法绝对稳定域为复平面h的整个左半平面（？），是A-稳定的。10五、对初值问题'(0)1yyy01x证明：用梯形公式111[(,)(,)]2nnnnnnhyyfxyfxy求得的数值解为22nnhyh并证明当步长0h时，ny收敛于该初值问题的精确解xnye11证明：由梯形公式，有1111[(,)(,)][]22nnnnnnnnnhhyyfxyfxyyyy整理，得122nnhyyh由此递推公式和初值条件，有02222nnnhhyyhh12[0,1]x，则有在区间0,0,1x上有nxxnh，步长xhn，由前面结果有02222022limlimlim1222lim12xnhnnnhxhhhxhhhyhhheh由x的任意性，得所证。13六、对于微分方程'(,)yfxy，已知在等距结点0123,,,xxxx处的y的值为0123,,,yyyy，h为步长。试建立求4y的线性多步显格式与与隐格式。解：取积分区间24[,]xx，对'(,)yfxy两端积分：442242(,)xxxxyxyxdyfxydx对右端(,)fxy作123,,xxx的二次插值并积分4242021112222233(,)[()(,)()(,)()(,)]xxxxfxydxlxfxylxfxylxfxydx112233123((,)(,)(,))337hfxyfxyfxy得到线性4步显格式42113123()337yyhfff14若对右端在34,xx两点上作线性插值并积分，有424201331144(,)[()(,)()(,)]xxxxfxydxlxfxylxfxydx442(,)hfxy由此产生隐格式42442,yyhfxy15七、证明线性多步法111(3)()2nnnyhffnn-1n-2（y-y）-y存在的一个值，使方法是4阶的。解：由本题的公式，有111(3)()2nnnyhffnn-1n-2（y-y）+y11()nnnTyxhy234(4)5[()'()''()'''()()()]2!3!4!nnnnnhhhyxhyxyxyxyxOh1[(()())(2)(3)(''())]2nnnnnyxyxhyxhhyyxh16234(4)5[()'()''()'''()()()]2!3!4!nnnnnhhhyxhyxyxyxyxOh234(4)5()(()'()''()'''()()())2!3!4!nnnnnnhhhyxyxhyxyxyxyxOh234(4)5(2)(2)(2)(()2'()''()'''()()())2!3!4!nnnnnhhhyxhyxyxyxyxOh23(4)51(3)('()'()''()'''()()())22!3!nnnnnhhhyxyxhyxyxyxOh2111[12(3)]'()[2(3)]''()222nnhyxhyx31141[(3)]'''()6634nhyx2(4)51121[(3)]()()2424312nhyxOh1734(4)5311()'''()(9)]()()41224nnhyxhyxOh当=9时，51()nTOh，局部截断误差是4阶的，故该多步法是4阶方法。18数值积分习题解答说明1.确定下列求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高，并指出对应的代数精度（1）101()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh（2）21012()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh（3）1121()12()3()/3fxdxffxfx（4）20()(0)()/2(0)()hfxdxhffhahffh6.若用复化梯形公式计算10xIedx问区间[0,1]应分成多少等份才能使截断误差不超过51102？若用复化辛普森公式，要达到同样的精度，区间[0,1]应分成多少等份？7．如果0fx，证明用梯形公式计算定积分()baIfxdx所得结果比准确值I大，说明其几何意义。10．构造Gauss型求积公式1001101()()()fxdxAfxAfxx11.用n=2,3的高斯-勒让德公式计算积分31sinxexdx13.证明等式3524sin...3!5!nnnn试依据sin(3,6,12)nnn的值，用外推算法求π的近似值。定理6.4设函数0()Fh逼近数*F的余项为312*012312(),0pppFFhhhhpp(6.23)则由11001(),011ppFqhqFhFhqq，q为任意常数定义的函数1()Fh也逼近*F，且有3211*123()ppFFhhh17.确定数值微分公式的截断误差表达式1900001()[4()3()(2)]2fxfxhfxfxhh答23fh