微积分三大中值定理详解.

微积分（一）calculus§4.1微分中值定理§4.2洛必达法则§4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最值§4.4函数曲线的凹向及拐点§4.5曲线的渐近线与函数作图§4.6导数在经济学中的应用第四章中值定理及导数的应用微积分（一）calculus§4.1微分中值定理一、引言二、微分中值定理1、罗尔(Rolle)定理2、拉格朗日(Lagrange)定理3、柯西(Cauchy)定理三、小结微积分（一）calculus一、引言(Introduction)导数刻划函数在一点处的变化率，它反映函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的整体变化性态。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内某一点导数之间的关系。中值定理既是利用微分学解决应用问题的模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。微积分（一）calculus二、微分中值定理TheMeanValueTheorem在微分中值定理的三个定理中，拉格朗日(Lagrange)中值定理是核心定理，罗尔中值定理是它的特例，柯西中值定理是它的推广。下面我们逐一介绍微分中值定理。微积分（一）calculus1、罗尔(Rolle)定理(R-Th)],[ba1)在闭区间上连续;2)在开区间),(ba内可导;有一点则在),(ba内至少),(ba使.0)(f若函数)(xf满足：),()(bfaf3)aboyABx)(xfy微积分（一）calculus几何意义:在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于x轴的切线,则此曲线弧上至少有一点处的切线是水平的.或者说切线与端点的连线AB平行.aboyABx)(xfy微积分（一）calculus证明()[,]max(min)()M(m)[,]fxCabfxabxaboyAB)(xfy1)若,mM即)(xf恒为常数,,0)(xf可取(a,b)内任一点作为;2)若,mM由)()(bfaf知,M,m至少有一个要在),(ba内取得.不妨设M在),(ba内点处取得,即()fM)(affxf()()所以,.0)(f证毕.微积分（一）calculus3[11](1)(1)0(0)0yxfff在，端点的函数值不相等，即,但存在=,使如,得例.110xy3yx注意：罗尔定理的条件组是结论成立的充分条件，任一条都不是必要条件。若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定理的结论。微积分（一）calculusxyo111再如,1011-)(2xxxxf0,(0)0f存在使得在右端点不连续,但·微积分（一）calculus然而,];1,1[,xxy注意：零值定理求函数的零点(函数方程的实根)，罗尔定理求导数的零点(导数方程的实根)。题型1：验证定理的正确性。定理结论中的客观存在，且可能不唯一，但未给出其具体位置。令导数为零，求解方程的根，可确定其具体位置。题型2：找区间(比较复杂)；题型3：找函数(由结论入手，求解微分方程)yx101yx在x=0处不可导,也不存在结论中的点0().f，使得微积分（一）calculus32()2525,[1,1],()()0.1fxxxxxfxRollef设验证是否满足定理的条件？若满足,求出使例定理中的322()2525()6102()[1,1](1,1)(1)(1)0.().fxxxxfxxxfxfffxRolle都是多项式；在上连续,在内可导且满足定理的三个条件解微积分（一）calculus21211()61020(11)537(1,(1)65376(1,1)(1,1)(0.))ff而得，在内存在一点，使得舍去微积分（一）calculus()(2)(1)(1)(3)2,()0fxxxxxfx已知不求导数，试确定有几个实根例及其所在范围.(),()()[-2-1][-11][13]()(-2-1)(-11)(13)(2)(1)(1)(3)0,()[-2-1][-11][13]Th.fxfxfxfxfffffxR都是多项式在闭区间，，，，，上连续，在开区间，，，，，上可导;且在，，，，，上均满足条件解微积分（一）calculus112233123(2,1)()0(1,1)()0(1,3)()0.()0.ffffx在内至少存在一点,使；在内至少存在一点,使；在内至少存在一点,使即、、是的三个实根()0(-2-1),(-11),(13).fxQ又为三次方程它最多只有三个实根这三个实根，它们分别在区间，，，内注：本例中，应用定理的关键是主动找区间。微积分（一）calculus()[,](0)(,)(),,(,)()()(.3)xabababffabaabfbff设在上连续，在内可导，且证明在内至少存在一得例点，使()()()()0(())0;()()(0())()fxfxxfxfxxxfxFxxfxFxxfxFx若令则问题的结论就转化为证明构造辅助函数，就可以用罗尔定理分析来证明。微积分（一）calculus()(),()()()()[,](,)()()()[,](,)()0,()()()0().FxxfxFxxfxfxFxababFaFbabFxababFffff令则在上连续，在内可导，且端点值相等：,在上满足罗尔定理条件，于是至少存在一点，使得即证明微积分（一）calculus例4设f(x)可导，且f(a)=f(b)=0，试证在(a,b)内至少存在一点，使f()+f'()=0证明：构造函数F(x)=f(x)ex则F(a)=f(a)ea=0F(b)=f(b)eb=0由于F(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且F'(x)=f'(x)ex+f(x)ex所以，在(a,b)内至少存在一点，有F'()=0即ef'()+ef()=0∴f()+f'()=0微积分（一）calculus例5已知f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数，ax1x2x3b，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，试证明在(a,b)内至少存在一点，使f()=0证明：∵f(x)在区间(a,b)内二阶可导∴f(x)在区间[x1,x2]，[x2,x3]内连续可导∵f(x1)=f(x2)=f(x3)由罗尔定理，存在1∈(x1,x2)，2∈(x2,x3)使得f'(1)=0，f'(2)=0∴再由罗尔定理得，12(,)(,)abQ3123(,)(,),()0.abf存在使得微积分（一）calculus()[0,1](0,1)(1)0,:(0,1)2()()sin20.6xffff在上连续，在内可导，且证明至少存在一点使得例2()()sin20ff当（0，1）分析时,有()()sincos0ff1()()sin0cosff21()()tan0cosff[()tan]0xfxx解答微积分（一）calculus()()tan,Fxfxx证设明()[0,1](0,1)(0)(0)tan0(1)(1)tan10()[0,1]FxFfFfFx显然，在上连续，在内可导且有所以，在上满足罗尔定理的条件.''()0,2()()sin20.Fff于是，至少存在一点(0,1),使得即微积分（一）calculus解答2()23,[1,3],()()0.fxxxxfxRollef设验证是否满足定理的条件？若满足,求出定理中使的2()23()[1,3](1,3)(1)(3)0.,().()2(1)0(13),1(1,3)1()0.fxxxfxfffxRolleffQ是一个多项式在上连续,在内可导又因此满足定理的三个条件故有得即在内存在一点，使得微积分（一）calculus解答.015有且仅有一个正实根证明方程xx2）唯一性,1)(5xxxf设,]1,0[)(连续在则xf.1)1(,1)0(ff且由零点定理.0)(),1,0(00xfx使即为方程的正实根.,),1,0(011xxx设另有.0)(1xf使01(),,fxxxQ在之间满足罗尔定理的条件使得之间在至少存在一个),,(10xx.0)(f015)(4xxf但))1,0((x矛盾,.为唯一实根1）存在性注意：在后面，本题还将用其他方法加以证明。微积分（一）calculus2、拉格朗日(Lagrange)定理(L-Th)或fbfafba()()()(1)],[ba1)在闭区间上连续;2)在开区间),(ba内可导;至少有一点(),ab使得若函数)(xf满足：aboyABx)(xfyC()()()(-)(2)fbfafba则在),(ba内定理微积分（一）calculus几何意义：在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行.aboyABx)(xfyC()()fafb当时，结论就是罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日中值定注：理的特例.微积分（一）calculus分析要证即证即证令()()()()()fbfaxfxxaba只须证()0,只须证)(x在],[ba上满足罗尔定理条件.微积分（一）calculus证明易见)(x在],[ba上连续，在),(ba内可导，且即根据罗尔定理知，),,(ba使()0,即即构造辅助函数微积分（一）calculus2)定理结论肯定中间值的客观存在,但未指明确切位置,可通过求解导数方程确定。(题型1：验证定理的正确性)1)定理的条件组是充分条件。.注意3)题型2：找区间；4)题型3：找函数；5)题型4：证明等式；6)题型5：证明不等式。微积分（一）calculus1)(1)或(2)式对于时也成立.拉格朗日中值公式.2)若令则,于是拉格朗日公式可写成:(3)3)若令则得有限增量公式:(4)说明（2）注式中的可能不止一个,这并不影响它在理论上的应用微积分（一）calculus•4）是函数增量的近似表达式•是函数增量的精确表达式yy()fxxx()dyfxx微积分（一）calculus()[,](,)()0,()[]1,fxababfxfxab如果函数在闭区间上连续，且在开区间内恒有则在闭区间上恒推论为常数.证明不妨设12,xx在],[21xx上应用中值定理,),,(21xx使0所以,,由21,xx的任意性知,()fx恒为常数.),,(,21baxx对微积分（一）calculusarcsinarccos.27xx例证明等式:()arcsinarccos()[11](1,1)()0;1,[11](),arcsinarccos.fxxxfxfxfxccxxc令;显然，在，上连续,在内可导,且由推论知在，上　(为常数）即　　证明0;2arcsinarccos.2xcxx令,得故有微积分（一）calculus例8已知函数f(x)在(,+)内满足关系式f'(x)=f(x)，且f(0)=1,证明：f(x)=ex。证明：构造函数()()xfxFxe2()()()()xxxfxeefxFxe'()(),'()0;()fxfxFxFxQ为常数.0,(0)1,()1.xFFx取().xfxe从而微积分