微积分上知识点概括

知识点1.定义域：偶次根式内的式≧0反三角函数的对应式的绝对值≦1幂函数的幂≠0指数函数的底＞0且≠1对数函数的底＞0且≠12.几个常用字母表示：总成本：C总收益：RL（x）=R（x）-C（x）总利润：L需求量：dQ供给量：sQ3.夹逼准则4.无穷小量：极限为零的变量设α，β是统一变化过程中的两个无穷小量。如果0lim，则称α是β的高阶无穷小量，记作α=o(β)。如果0clim（c为常数），则称α与β是同阶无穷小量，特别，当c=1时，称α与β是等价无穷小量，记作α~β。如果lim，则称α是β的低阶无穷小量常见等价无穷小量：当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，x~1-ex，}nxx~11n，1-cosx~2x2，In（1+x）~x5.求极限：①共轭因子法：求极限2-x3-5xlim22x②换元必须换极限过程③：时当mn④无穷多个无穷小的和未必是无穷小6.两个重要极限：①1xsinxlim0x②ex11limxx）（（1未定式）7.函数y=f（x）在点0x连续的条件：①函数y=f（x）在点0x有定义②）（xflim0xx存在③）（xflim0xx=f（0x）连续=左连续+右连续8.间断点：第一类间断点：（左、右极限皆存在）①可去间断点：左、右极限皆存在且相等②跳跃间断点：左、右极限皆存在但不相等第二类间断点：（左、右极限至少一个不存在）③无穷间断点：极限为∞者为非负整数时有和当nmba,0,000,00ba,0nm当时,lim110110mmmnnnxbxbxbaxaxanm当时④振荡间断点：函数f(x)=cos(1/x)或f(x)=sin(1/x)在x=0处无定义，且当x趋向于0时，对应的函数值在-1和1之间变动无数次，所以x=0称为f(x)=cos(1/x)或f(x)=sin(1/x)的“振荡间断点”。9.闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理、零点定理10.∞分为+∞和-∞11.）（xf=0xxy=0xxdxdy=0xxxfdxd）（=xxxflim00x）（=00xxx-xxf-xflim0）（）（12.不连续一定不可导，连续也不一定可导13.可导的奇（偶）函数的导数是偶（奇）函数14.微分dy=df（x）=）（xfdx15.边际成本）（xC的经济意义：近似等于产量为x时再生产一个单位产品所需要增加的成本边际收益）（xR的经济意义：近似等于产量为x时再生产一个单位产品所增加（或减少）的收益边际利润）（xL的经济意义：近似等于产量为x时再生产一个单位产品所增加（或减少）的利润函数的弹性：yxyxyEE表示当自变量在点x=0x处变化1%时，f（x）近似地变化xyEE%，记作：①=-1时，称为单位弹性，此时价格与需求变动的幅度相同；②＜-1时，称为高弹性，此时需求的幅度大于价格变动的幅度，即此时价格上涨（或下跌）1%时，需求将减少（或增加）%③-1＜＜0，称为低弹性，此时需求的幅度小于价格变动的幅度，即此时价格上涨（或下跌）1%时，需求将减少（或增加）%16.罗尔定理：设函数f（x）在闭区间【a，b】上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点，使得）（f=0拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间【a，b】上连续，在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内存在一点，使得a-baf-bff）（）（）（柯西中值定理：若函数f（x）与g（x）在闭区间【a，b】上连续在开区间（a，b）内可导，且）（xg在（a，b）内恒不为零，则在（a，b）内至少存在一点，使得）（）（）（）（）（）（ag-bgaf-bfgf洛必达法则：00（）型未定式，分子、分母分别求导）（或，，，，0010-00017.函数导数等于零的点称为函数的驻点可导函数的极值点必为驻点，不可导点也可能是极值点18.凹凸性判断：凸凹＜＞）（00xf19.渐近线：①水平渐近线：对于函数y=f（x），若）的水平渐近线（为曲线则称为有限数，，其中）（或）（xfyyxflimxflim-xxAAAA②对于函数y=f（x），若）的一条竖直渐近线（为曲线则称之一成立）（，）（，）（，）（xfyxx-xflimxflim-xflimxflim0xxxxxxxx-0-000③斜渐近线：ax-xflimb0xxflimaxx）（）（）（AA20.三角函数：cosxsinxtanxsinxcosxtanx1cotcosx1secxsinx1cscxcosxsinx，，，，，21.偶次降次，奇次分一个因子凑微分22.第二换元积分法：ax-xa-x20tax2t0sectaxa-x2ttantaxax2tsintaxx-a222222＞，转化为，令＜）π，（，＞）π＜＜（：令）π＜（：令）π＜（：令23.含tba0babanxnx）的积分，令，，，（24.分部积分法：反对幂指三（三指），前面的取为，后面的凑成dv基本三角公式222222sincos1,1tansec1cotcsc2222sin22sincoscos2cossin12sin2cos122221cos221cos221cos2sinsin21cos2coscos2sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin221sincossinsin21cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos2基本初等函数求导公式(1)0)(C(2)1)(xx(3)xxcos)(sin(4)xxsin)(cos(5)xx2sec)(tan(6)xx2csc)(cot(7)xxxtansec)(sec(8)xxxcotcsc)(csc(9)aaaxxln)((10)(e)exx(11)axxaln1)(log(12)xx1)(ln，(13)211)(arcsinxx(14)211)(arccosxx(15)21(arctan)1xx(16)21(arccot)1xx函数的和、差、积、商的求导法则设)(xuu，)(xvv都可导，则（1）vuvu)(（2）uCCu)(（C是常数）（3）vuvuuv)(（4）2vvuvuvu反函数求导法则若函数)(yx在某区间yI内可导、单调且0)(y，则它的反函数)(xfy在对应区间xI内也可导，且)(1)(yxf或dydxdxdy1复合函数求导法则设)(ufy，而)(xu且)(uf及)(x都可导，则复合函数)]([xfy的导数为dydydudxdudx或()()yfux基本积分公式(1)d,dkxkxCxxC1(2)d11xxxCd(3)ln||xxCx(4)dlnxxaaxCa(5)dxxexeC(6)cosdsinxxxC(7)sindcosxxxC22d(8)secdtancosxxxxCx22d(9)cscdcotsinxxxxCx(10)sectandsecxxxxC(11)csccotdcscxxxxC2d(12)arcsin1xxCx2d(13)arctan1xxCx2222d1d1(14)ln,ln22xaxxxaCCaxaaxxaaxa22d1(15)arctanxxCaxaa22d(16)arcsinxxCaax(17)tandlncosxxxC(18)cotdlnsinxxxC(19)secdlnsectanxxxxC(20)cscdlncsccotxxxxC2222d(21)lnxxxaCxa附：零散公式：arccosx-x-arccosπ）（arccotx-x-arccotπ）（nnnlimn21limnlimnn21limn1nnnn1nnn）（）＜（＜）（）用夹逼定理（dxcotxcscx-xcscdxxsincosx-1dxcosx-1cosx1cosx-1cosx1dx22）（））（（