微积分习题课20141116

第三章导数与微分1.导数的概念和几何意义xxfxxfxfx)()(lim)()1(0000000)()(lim)()2(0xxxfxfxfxx.))(,()()()3(000处的切线的斜率在点表示曲线xfxxfyxf切线方程：))(()(000xxxfxfy2.导数的计算(1)求导公式及四则运算法则注：定义式求导：①分段函数分段点②某点是否可导未知③用公式求导太繁。导数定义题(2)复合函数求导——链式法则)()(内层函数外层函数的导数复合函数)()]([)]([xxfxfdxdududydxdy或(4)对数求导法方程两边同时对x求导,再解以y'为未知数的方程.(3)隐函数求导法先方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.(5)高阶导数2222dxfdfdxydy只须逐阶求导:)(11nnnndxyddxddxyd复合函数隐函数求导数题高阶导数题(6)幂指函数求导法)()]([xgxfy①取自然对数化为隐函数再求导.②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.3.微分的概念及计算(1)微分公式及四则运算法则dxxfdy)((2)微分形式不变性duufdy)((3)微分的近似计算xxfxfxxf)()()(000xxfxfxxf)()()(000,较小时当xdyy微分题4.连续、可导、可微的关系连续可微可导5.边际与弹性6.分段函数的连续与可导判断边际成本)(xC边际收益表示销售第(x+1)个产品所增加的收入近似值.)(xR边际利润)(xL表示销售第(x+1)个产品所增加的利润近似值.表示生产第(x+1)个产品所增加的成本近似值.当价格为p时，若提价(降价)1%，则需求量将减少（增加）%dEpdQdQQpEdlnlnxdydyyxExEylnln分段函数可导性题边际弹性题基本求导公式函数可微与可导的关系基本初等函数的微分公式第四章中值定理与导数的应用1.中值定理)),((0)(baf至少有一个闭连开导端值相等(1)罗尔定理(2)拉格朗日中值定理)),(()()()(baabafbff至少有一个闭连开导)),(()()()()()()(baagbgafbfgf至少有一个闭连开导(3)柯西中值定理推论:Cxfxf)(0)(Cxgxfxgxf)()()()((4).中值定理及推论证明等式和不等式①等式的f(x)=A证明。取一特殊值计算再在上式成立的范围内；，利用拉氏推论得先证CCxfxf)(0)(0)(g②含有f'()等式的证明得到要证的结论。中值定理的条件，即可满足罗尔或拉格朗日，验证构建辅助函数)()(xFxFx0)(xg)()(xgxF③证明含有某函数在两点的函数值之差f(b)f(a)的不等式进行适当的缩放。，再对转化为将两点函数值之差先用拉格朗日中值定理)())(()()(fabfafbf中值定理题2.洛必达法则(1)洛必达法则适用范围:(2)洛必达法则技巧①使用法则前，进行等价无穷小因子替换或用极限不为零因子的极限值置换，要尽可能简化极限表达式；②极限存在的“项”，先分离出去。③数列的极限要先转化为函数的极限，才能使用法则。型未定式型、00)()()(lim)()(lim00或Axgxfxgxfxxxx利用洛必达法则求极限,使用前检查是否满足条件,一定是对分子分母分别求导;可以连续使用.洛比达极限题3.单调区间与极值(1)写出函数的定义域；(2)求驻点y'=0和y'不存在的点；(3)列表考察所求的点将定义域分成的若干子区间内y'的符号，判定函数的单调性，确定极值点。4.凹凸区间与拐点(1)写出函数的定义域；(2)求y=0和y不存在的点；(3)列表考察所求的点将定义域分成的若干子区间内y的符号，判定区间内的凹凸，确定拐点。函数性态题5.渐近线(1)水平渐近线))(lim()()(bxfbyxxx(2)铅垂渐近线))(lim()()(xfaxaxaxax(3)斜渐近线baxyxxfax)(lim])([limaxxfbx6.微分法作图(三点一线作图法)同步练习P10一、8，13二、3四、87.最值与应用题(1)所有驻点和不可导点的函数值与区间两端点函数值比较,可得最值;(2)实际问题中的最值：一般是唯一的极值转化为实际问题的最值（注意极值的判定方法）；(3)利用最值证明不等式：要证f(x)≥A或(f(x)≤A),只需证明A是f(x)的最值。最值应用题可导。内),(在)(取何值时，,问,00)(设.12xfbaxbaxxexfx.0)(处可导性在只需考虑xxfxxxexf200lim)(lim1bbaxxfxx)(lim)(lim001b解：处必连续。在则处可导在0)(,0)(xxfxxf,0)(处可导在xxfxexfxffxxx1lim0)0()(lim)0(200)0()0(ff2axaxxfxffxx11lim0)0()(lim)0(002a.求,1ln)1(设.2222yxxxyx解：)1ln()1(2122ln2xxeyxx12)1(21)1ln()ln2(222ln2xxxxxxxxeyxxxxxxxxxx)1ln()ln2(22).0(,114.5)4(22yxxy求解：13441142222xxxxy1342x)1111(234xx])11()11[(23)()()(nnnxxy])1(1)1(1[23!)1(11nnnxxn])15(1)10(1[23!4)1()0(554)4(y72。可微，求，其中设dyfxfxy)1(.72)1)(1()1(222xxfxxxfy)1()1(2xfxxfdxxfxxfdy)]1()1(2[dxxx)42cos(.8)42()42cos(xdxCx)42sin(PQPR)()2(QPQPQPR)()()1(dEQ)201(PPQ此时降低价格反而使收益增加。)1(QQPQ20)10(2PPQ0Q0)(02010PRPP时，当0)(2010PRP时，即当处可导。在取何值时，问设0)(,,,0000)(.32xxfcbaxcbxxxaxxf)(lim)(lim00cbxxfxxcaaxxfxx)(lim)(lim2000ca解：处必连续。在则处可导在0)(,0)(xxfxxf,0)(处可导在xxfxbxxfxffxx00lim0)0()(lim)0()0()0(ffb0lim0)0()(lim)0(200xxxfxffxx0b0)0(f)2)(1sin(11222222xxeeaxxaxy。为常数，求已知dyaeaxyx),1cos(arctan.4222)1sin(2)1(222222xxeeaxaxxdxeeaxaxxdyxx)]1sin(2)1([222222).0(,0)(.5yyxxyexfyxy求确定由方程设0,0yx时当解：方程两边求导得：代入上式：将0,0yx1)0(y01)(yyxyxyeeyxyexyxyxy.),(ln)(ln,0)(.6yxfxfyxff求二阶可导，且已知解：xxfxfxfy)(ln)()(222)(ln)(ln)()]([)()(xxfxfxfxfxfxfy