微积分知识点1—4

11.函数、极限与连续集合：具有某种特定性质的事物的总体。元素：组成这集合的事物。常见集合：数集，点集，函数集。集合表示法：描述法，列举法。,Ma,Ma有限集，无限集。A是B的子集BA。空集，是任何集合的子集。真子集N自然数集，Z整数集，Q有理数集，R实数集。RQZN。若BA，且AB，则A=B。交集BA，并集BA，差集B-Aor\AB。补集。直积。常用的实数集合是区间和领域。开区间（a,b），闭区间[a,b]，半开区间。有限区间，无限区间。领域：,邻域的称为点}{数集aaxx去心领域记作)(0aU。映射：f：xy。f的定义域D（f）=x，f的值域f（x）为y的子集。若f（x）=y，则为满射；若每个像只有一个原像，则为单射，既是满射又是单射即为一一映射。函数：y=f（x），自变量，因变量，定义域Df。定义域和对应法则相同则两函数相同。函数表示法：表格，图示，公式。显函数和隐函数，并非任何方程都是隐函数。反函数与函数关于直线y=x对称。函数特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性。任何一个定义域关于原点对称的函数总可表示为奇函数+偶函数。单调函数的反函数有同样的单调性。基本初等函数：幂函数axy（a为常数），指数函数)1,0(aaayx，对数函数)1,0(logaaxya，三角函数，反三角函数。初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。分段函数一般不是。复合函数，注意定义域。双曲函数，反双曲函数双曲正弦2sinhxxeex，D=R2cosh双曲余弦xxeex，D=Rxxxxeeeexxxcoshsinhtanh双曲正切xxxxxxxxyxyxyxyxyxyx2222sinhcosh2cosh;coshsinh22sinh;1sinhcosh，sinhsinhcoshcosh)cosh(;sinhcoshcoshsinh)sinh(反双曲正弦函数)1ln(sinh2xxxary，奇函数，单增反双曲余弦函数)1ln(cosh2xxxary，单增。反双曲正切函数xxxary11ln21tanh2数列{nx}：依次排列的无穷多个数称为一个无穷数列。项。nx称为通项。|A-x|时，有Nn使得当,0N,0n，称数列nx收敛于A。收敛的数列必定有界；每个收敛的数列只有一个极限。如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。AxfAxfXxXx)(lim)(恒有,时使当,0,0正无穷大的极限，负无穷大的极限。Axfx)(lim:定理.)(lim且)(limAxfAxfxxAxfAxfxxxAxfAxfxxxAxfAxfxxxxxxxxxxxx)(lim)(恒有,时使当,0,0)(lim)(恒有,时使当,0,0.)(lim)(恒有,时0使当,0,0)(000)(000000000.)0()0()(lim:定理000AxfxfAxfxx定理（保序性）;.则),()(有),,(,0若.)(lim,)(lim设0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx定理（保号性）：).0)(或(0)(,时),(当,0则),0或(0且,)(lim若000xfxfxUxAAAxfxx子列收敛性（函数极限与数列极限的关系）：.时的子列当)(为函数),(,),(),(即,)(则称数列.时使得),(中有数列)或,,可以是(设在过程21000axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn定理：.)(lim则有,时的一个子列当)(是)(数列,)(lim若AxfaxxfxfAxfnnnax函数极限存在它的任何子列的极限都存在且相等无穷小：极限为零的变量称为无穷小。记作).0)(lim或(0)(lim0xfxfxxx无穷小是变量，0是唯一可作无穷小的变量。定理：在自变量的同一变化趋向下，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量。有限个无穷小仍为无穷小，当无限个未必。无穷小与有界变量之积为无穷小。Axfxx)(lim0f(x)=A+a(x),其中a（x）是当x-x0时的无穷小无穷大：绝对值无限大的变量称为无穷大。无穷大是一种特殊的无界变量。3极限的运算法则：.0其中,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(则,)(lim,)(lim设BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf推论1：).(lim)](lim[则,为常数而,存在)(lim如果xfcxcfcxf推论2：nnxfxfnxf)]([lim)](lim[则,是正整数而,存在)(lim如果极限求法：a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.例：3)12584(lim2-x-xxx，这题太阴了。nmn-m2lim1nmnmxxxxx，L'Hospital法则，分子分母同时对x求导定理1夹逼准则：如果当,0xUxo(或|x|M)时,有（1）g(x)=f(x)=h(x);（2）g(x)-A，h(x)-B(x-x0或x-无穷)则有f(x)-A(x-x0或x-无穷)两个重要极限：（1）1sinlim0xxx，由夹逼准则或洛必达法则可得。另一形式：1sinx1limxx。（2）e）x11（limxx由（1+t）^(1/t)的图形得。定理2单调有界准则：单调有界数列的函数必存在。4无穷小的比较定义1设0lim0xx-，0lim0xx-，若0lim0x-x，称当x-x0时，α是β的高阶无穷小；）0C（Clim0x-x，称当x-x0时，α与β是同阶无穷小，C=1时，为等价无穷小，记作α~β（x-x0）；）0k，0C（Climkx-0x，α是β的k阶无穷小。常用等价无穷小：当x0时，axxaxnxxxxnxxxxexxxxxxxxxxaxnxln~)1(log,ln~1a，~11,5.0~sinta21~cos1,~1,~)1ln(,~arctan,~tan,~arcsin,~sin32定理3：设xx0时，α~α1，β~β1（α1，β1不为0），且或A11lim0xx-，则11limlim00xx-xx-。即等价代换定理。（不能对加减的无穷小项进行）不是任何两个无穷小量都可以比较，如xxxgsin)(，xxf1)(例asectantanlim2axaxax函数的连续性与间断点函数的连续性定义1：设函数f(x)在)(0xU内有定义,若)()(lim00xfxfxx，则函数f(x)在点x0处连续。定义2：.)()(恒有,时使当,0,000xfxfxx则称f(x)~~~~定义3：函数f(x)在)(0xU内有定义，若0lim0yx，则~~~~~~~。单侧连续，即左连续和右连续。定义4：若f(x)在开区间（a，b）内每一点都连续，则称f(x)在开区间（a,b）内连续，记作),()(fbaCx，C（a,b）表示在此区间内全体函数构成的集合。5函数的间断点函数f(x)在点x0处连续必须满足三个条件：;处有定义在点)()1(0xxf;存在)(lim)2(0xfxx).()(lim)3(00xfxfxx缺一则不连续，称为间断点。第一类间断点：跳跃间断点，即f(x0-0)≠f(x0+0)；可去间断点，即函数在x0处无定义或)()(lim00xfAxfxx。第二类间断点：函数在x0处左、右极限至少有一个不存在。无穷型~，振荡型~连续函数的性质与运算定理1（局部有理性）：若函数f(x)在点x0处连续，则总存在U（x0，δ）使得对),(x0xU，f(x)必有界。定理2（局部保号性）：若函数f(x)在点x0处连续，且f(x)0，则总存在U（x0，δ），使得对),(x0xU，有f(x)0。定理3（四则运算法则）：.处也连续在点)0)(()()(),()(),()(则,处连续在点)(),(若函数000xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf定理4（反函数的连续性）：严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。单调性相同。定理5（复合函数的连续性）：)](lim[)()]([lim则有,连续在点)(函数,)(lim若000xfafxfaufaxxxxxxx定理6（5的特殊情况）：.也连续在点)]([则复合函数,连续在点)(而函数,)(且,连续在点)(设函数00000xxxfyuuufyuxxxxu定理7：基本初等函数在定义域内是连续的。定理8：初等函数在其定义域内的区间上是连续的。定义5：.值)小(上的最大在区间)(是函数)(则称))()(()()(都有使得对于任一,如果有),(上有定义的函数对于在区间0000IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI定理9（最大值和最小值定理）：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。定理10（有界性定理）：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。定理11（零点定理）：设函数)(xf在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号,那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点。62.一元函数微分学定义1：设函数y=f(x)在点0x的某邻域内有定义，若xyxxxfxxxx000lim)()(flim0存在，则函数f(x)在点x0处可导，并称此极限为y在点x0的导数。如果函数y=f(x)在开区间I内每点处都可导，就称函数f(x)在开区间I内可导。若f(x)D（a,b），则称这个新函数为f(x)的导函数，记作f’(x)。0)()(0xxxfxf。;)()(lim)()(lim)(右导数：;)()(lim)()(lim)(左导数：0000000000000000xxfxxfxxxfxfxfxxfxxfxxxfxfxfxxxxxx函数f(x)在点x0处可导左导数和右导数都存在且相等。由定义求导数：.lim求极限)3(;)()(算比值)2();()(求增量)1(0xyyxxfxxfxyxfxxfyx导数的几何意义：（导数的实质：增量比的极限）)为倾角(,tan)(即,处的切线的斜率))(,(在点)(表示曲线)(0000xfxfxMxfyxf).()(1法线方程：).)((切线方程：000000xxxfyyxxxfyy定理：凡可导函数都连续。判断可导：是否连续若连续，1.定义证明；2.看左右导数。导数的四则运算法则：如果函数u(x)，v(x)在点x处可导，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu反函数的导数：如果函数x=(y)在某区间Iy内单调、可导且’(y)≠0，那么其反函数y=f(x)在对应区间Ix内页可导，f’(x)=1/’(x)。复合函数求导法则：如果函数u=(x)在点x0处可导，y=f(u)在点u0=(x0)可导，则复合函数y=f[(x)]在点x0可导，且导数为).(