微积分计算方法

学号1330101009毕业论文对概率积分解法的研究和讨论院（系）名称：书信学院专业名称：数学教育学生姓名：李建鹏指导教师：杜争光二○一五年陇南师范高等专科学校2016届毕业论文I摘要：文章给出了计算概率积分2xedx的几种简便的计算方法；对以后概率积分的研究和应用具有较好的帮助。关键词：格林公式；奥高公式；重积分；含参变量概率积分2xedx是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。陇南师范高等专科学校2016届毕业论文II目录方法一：二重积分法.........................................1方法二：三重积分法.........................................1方法三：线积分法...........................................2方法四:面积分法............................................3方法五:含参变量的无穷积分法................................4方法六：二重积分证明法.....................................6参考文献：.................................................8致谢:......................................................9陇南师范高等专科学校2016届毕业论文1对概率积分2xedx解法的研究和讨论概率积分2xedx是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。方法一：二重积分法现有连续函数22()(,)xyfxye在正方形区域:(;)Daxaaya；圆域2221:()Rxya；圆域：2222:(2)Rxya上的二重积分分别为12,,III，即：22222()()2()aaaxyxyxaaaDIedxdydxedyedx222212()100.(1)axyraRIedxdydredre2222222()2200.(1)axyraRIedxdydredre（用极坐标）同时又因：12III,故有12limlimlimaaaIII，即有22lim()ataaedt，从而2xedx4方法二：三重积分法首先我们把旋转体的体积概念推广到积分限无穷的情况。再设XOZ平面上的曲线2xZe绕Z轴旋转一周得到的曲面22()xyZe与平面XOY围成的体V。显然，一方面，该体的体积22()220()xyexvVdxdydzdxdydzedx另一方面，根据旋转体的体积公式有：陇南师范高等专科学校2016届毕业论文21112000()lnVsXdzxdzdz，1100limlnlim(ln)|cccczdzzzz故有2xedx。方法三借用直观的几何意义获释，体现了数学方法的多样性。方法三：线积分法假定曲线21:xCye与2:Cx轴相交于无限远处，设由闭曲线12CC围成的闭区域,由格林公式有：区域G的面积1212Gccsdxdyxdyydx，又面积2xsedx，所以有212122211()221(2)2xcccxxedxxdyydxxdyydxxdyydxxedxedx（21:xcye从（,0）到（,0））从而有：22222001222xxxuedxxedxxedxuedu(换元2xu)=3()2（参变量积分）=111()222（利用1()2）即有：2xedx3陇南师范高等专科学校2016届毕业论文3方法三借助线积分，格林公式及参变量积分等基本知识，简捷明了，富有新意方法四:面积分法假定曲面22()1:xySze与2:Sxoy平面相交于无限远处，设闭曲面12SS围成闭体V。由奥高公式，闭体的体积1213VssVdxdydzxdydzydxdzzdxdy，由方法二知从而有：22()xVedx22()xedx=1213ssxdydzydxdzzdxdyxdydzydxdzzdxdy=113sxdydzydxdzzdxdy设曲面1S在,,xyxzyz平面上的投影区域分别为12,,DDD,则有：22()xedx=221222()12ln2ln3xyDDDzxdxdzzydydzedxdy显然有：1222lnlnDDzxdxdzzydydz和222()2()xyxDedxdyedx故有2122)2lnxDedxzxdxdz1ln20ln2lnzzdyzxdx1ln2004lnzdzzxdx而ln22ln00lnln(lnarcsin)|22lnzzxzxzxdxzxz陇南师范高等专科学校2016届毕业论文4ln4z故有2120()4(ln)4xedxzdz即：2xedx2方法五:含参变量的无穷积分法20xJedx已知22lim(1)xnnxen讲欲求的积分写成2200lim(1)xnnxJedxdxn0A，函数2(1)nxn在0,A上连续，当n增加时，函数2(1)nxn单调减少，且22lim(1)nxnxen是连续函数。0,xA,有2210(1)1nxnx，而20xedx收敛。所以20(1)nxdxn关于n一致收敛，于是积分号与极限可以交换次序，即2200(1)lim(1)nnnxxdxdxnn陇南师范高等专科学校2016届毕业论文520lim(1)nndxxn设,xntdxndt，有20lim(1)nndtJnt再设2cot,sindytydty,有2220limsinnnJnydy由牛顿-莱布尼茨公式和定积分还原公式，有(23)!!lim(22)!!2nnJnn已知沃利斯公式22(22)!!1lim212(23)!!nnnn将此式分子、分母上下调换位置，再在等式两端开平方，有(23)!!22lim21(22)!!nnnn于是20(23)!!lim(22)!!2xnnJedxnn(23)!!lim21(22)!!221nnnnnn21222即202xJedx1陇南师范高等专科学校2016届毕业论文6方法五是利用重积分的方法，结合图形对概率积分20xedx进行了较为详细的证明。方法六：二重积分证明法202xedx证明：已知无穷积分20xedx收敛，有20xedx=20limxaedx为了计算20xedx，我们首先计算20lim(1)nndtJnt。因为220()xedx2200()()aaxyedxedy22()xyDedxdy其中(0,0)Dxaya是正方形区域。设12,DD分别是以a和2a为半径，圆心在原点位于第一象限那部分圆域，如图：因为(,)xy，有22()0xye，12DDD,所以有22222212()()()xyxyxyDDDedxdyedxdyedxdy根据二重积分坐标变换：cos,sinxryr。则陇南师范高等专科学校2016届毕业论文71|(,)|0,0|2Drra2|(,)|02,0|2Drra于是22221()200()(1)4axyraDedxdyerdrde222222()2200()(1)4axyraDedxdyerdrde即222220(1)()(1)44aaxaeedxe当a时，则有220lim()4axaedx即有概率积分202xedx1s以上几种方法既给了我们计算概率积分的具体方法，同时也从另一角度揭示了微积分知识间的本质联系，无疑对我们学好课程是大有益处的。陇南师范高等专科学校2016届毕业论文8参考文献：1刘玉琏傅沛仁《数学分析讲义》2008年4月第五版2李银奎概率积分的计算3费定晖周学圣《数学分析习题集》第二版4陇南师范高等专科学校2016届毕业论文9致谢:本文能够顺利完成,感谢老师的热心指导．三年的大学生活即将结束,感谢师范学院数学系三年来对我的教育与帮助,大学的学习生活将会是我人生扬帆起航的重要的基石!