微积分试卷

浙江大学2013-2014学年夏学期《微积分Ⅲ》课程期末考试试卷1.(7分)设121,22210,)(xxxxxf，10cos2)(nnxnaaxS是)(xf的以2为周期的余弦级数，求)25(S的值。2.（7分）设L为空间封闭曲线：taztaytaxsin,cos2,cos2，20t，计算空间第一型曲线积分dlzyxL222，其中常数0a。3.（7分）设C为上半圆周22xay从点)0,(aA到点)0,(aB的有向弧段，计算平面第二型曲线积分dyxydxxL)(2，其中常数0a。4.（7分）设曲面}1),(21:),,{(2222yxyxzzyxS，计算第一型曲面积分dSzyxS)12(。5.（8分）设41,3:),,(22zzyxzyx，计算三重积分dVzyx221。6.（8分）设轴正向夹角为钝角法向量与z,1,0,:),,(22zxyxzzyxS，计算第二型曲面积分dzdxydydzx2S2。7.（8分）设L是曲线2122zyxyx，从z轴正向往z轴负向看，L是逆时针的有向封闭曲线，计算空间第二型曲线积分Ldzyxdyzxdxyz)()()(.8.(8分)设空间区域22222:),,(yxzyxzyx，求三重积分dVzx)(。9.（10分）设C为从点),(A到点),(B沿曲线xycos的有向弧段，请验证：平面第二型曲线积分Cyxdyyxdxyx22)()(在不包含原点的单连通区域D内与路径无关，并计算此积分。10.（10分）设C为从点)0,0(A沿曲线xysin到点)0,(B的有向弧段，计算平面第二型曲线积分dyyexdxyxyeCxx)sin23())(2cos(。11.（10分）设有向曲面S：221yxz，取上侧，a,b,c都是正常数，计算第二型曲面积分Szyxdxdyzcdzdxybdydzxa222323232)1(。12（10分）设有向曲面S为锥面22yxz的下侧且介于1z与4z之间，),,(zyxf为连续函数，请将第二型曲面积分Sdxdyzzyxxyfdzdxyzyxzxfdydzxzyxyzf)),,(2(),,(),,(化成第一型曲面积分，并计算之。浙江大学2012-2013学年夏学期《微积分Ⅲ》课程期末考试试卷1.设xxf2013cos)(，10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxS是)(xf的以2为周期的Fourier级数，求100a。2.设dttxyx043)(，C为平面曲线)(xyy在11x上的弧段，求第一型曲线积分dlxyC)||(3。3.设C为椭圆xyx8422正向一周，计算平面第二型曲线积分dyyxdxeCy)(22.4.设C为从点)0,2(A到点)0,2(B沿曲线xycos的有向弧段，计算平面第二型曲线积分Cyxdyxydxyx224)24()2(。5.设函数)(y具有连续的一阶导数，C为从点)1,1(A沿曲线2)2()2(22yx的右下方半个到点)3,3(B的有向弧段，计算平面第二型曲线积分Cdyxydxyxy]sin)([]cos)([。6.设L为空间曲线xyyxz,22介于点A(0,0,0)与点B(1,1,2)之间的弧，求空间第一型曲线积分Lyds。7.柱面22222,:),,(ayxxRzzyxS（常数0aR），求第一型曲面积分dSzyxzS2)(。8.设S为球面1222zyx外侧的第一卦限部分，求第二型曲面积分Sxyzdxdy。9.设S为有向曲面22yxz（10z），其法向量与z轴正向夹角为锐角，求第二型曲面积分Szdxdydydzzxy)2(2。10.设有向曲面S为平面2zyx被柱面1yx截下的有限部分，法向量向上，请将第二型曲面积分Sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()3()2(化成第一型曲面积分，并计算之。11.求三重积分dVzyx1222，其中}1:),,{(22zyxzyx。12.设)(xf具有二阶连续导数，1)0(,0)0(ff，且对平面上任意一条逐段光滑的简单封闭曲线L，平面第二型曲线积分0])([)]()([2Ldyyxxfdxxfyxxy。（1）求函数)(xf；（2）设C为从点(0,0)到点(x,y)的任意一条逐段光滑的有向弧，求平面第二型曲线积分Cdyyxxfdxxfyxxy])([)]()([2。13.（1）设F(y)为连续函数，证明：dyyFydyyFdzz10010)()1()(；（2）设10,0,0:),,(zzyyxzyx，f(x)为连续函数，证明dxxfxdVxf102)()1(21)(。浙江大学2011-2012学年夏学期《微积分Ⅲ》课程期末考试试卷1、（9分）设均匀圆柱体Ω为hzayx0,222，其密度为u，求Ω对位于（0,0,b），（bh）处的单位质量的质点的引力F。（万有引力系数为k）。2、（9）f(t)是连续函数，证明dttxtfdttfdudvxuvx20000))((21)(。3、（5分）C为椭圆19422yx，记其周长为l，求dsyxyxxyc)]49()([22。4、（9分）设s是可求长的连续曲线，)(pf和))((sppg是其上的连续函数，0)(pg，sp，则在s上存在一点ξ，使得dspgfdspgpfss)()()()(。5、（9分）为椭球面)0(,122222zzyx的上半部分，求dSzyxz222446、（9分）设力场kzyxjyzyxf)(,,，求质点沿螺旋线tcztaytax2,sin,cos从点A（a,0,0）移动到B（a,0,c）时，f所做的功。7、（9分）设),(),,(),,(yxyxQyxP是在平面区域Ω上（包含边界）有连续一阶偏导数的函数。l是Ω的边界曲线，则沿l正向，有dxdyyQxPdxQdyPdxdyyQXPl。8、（9分）求xyzdxdyS，其中S为球面)0,0(1222yxzyx的外侧。9、（9分）求zdxdyydzdxxdydzS，其中S为上半球面)0(1222zzyx的外侧。10、（9分）请用数学理论，通过计算解释阿基米德定律：物体在水中受到的浮力等于其排开水的重量。设G是一物体，其边界S是分片光滑的闭曲面，体积为V，完全浸没在比重为的水中，求G受到的浮力。有关提示：1、可以以水表面为XOY平面，垂直向下为Z轴正方向。2、托里拆利定律指明，在水面下深为z处的水压强为z。3、静止物体的表面各点处在水中受到水的压力是正压力（沿着表面法向，指出物体内部），正压力的Z向分量产生浮力，各点处浮力之和为水对物体的浮力。11、（5分）求kxyzjxzyiyzxzyxf，zyxfrot)()()(,,),,(222其中。12、（9分）设f(x)是周期为2π的函数，它在[-π，π]的表达式为xexxfx0,0,0)(，将f(x)展开成Fourier的级数。浙江大学2010-2011学年夏学期《微积分》（III）课程期末考试试卷1、设l是圆周22)(ayax（常数a0）的上半圆周，计算平面第一型（即对弧长的）曲线积分2dlxyl．2、设l是心形线)cos1(ar一周，常数0a，计算平面第一型曲线积分sind2ll．3、设L为空间直线3521zyx上点(0,1,5)与点(2,5,11)间的一段，计算空间第一型曲线积分()dLxyzl．4、设l是是圆周1)1(22yx正向一周，计算平面第二型（即对坐标的）曲线积分222()dd(1)lxyxxyxy．5、确定常数a与b的值，使22(2)d(2)dayxyxbxxyy为某函数),(yxu的全微分，并求满足2)1,1(u的),(yxu．6、设S为球面1222zyx上121z部分，计算第一型（对面积的）曲面积分dSzS．7、设)(tf为连续函数，0()()duFuftt，aF)1(，空间区域}10,0,0|),,{(Ωxxyyzzyx．计算三重积分Ω()()()dfxfyfzV．8、计算第二型（即对坐标面的）曲面积分2ddddSIyzzxyxy，其中S是曲面221yxz，0z部分，上侧．9、设xxf2)(（10x），计算)(xf的以2为周期的余弦级数，并写出区间[1,1]上此余弦级数的收敛和函数．10、计算三重积分ΩdzeV，其中}0,1)},,{(Ω222zzyxzyx．11、设l为从点(1,0)A沿曲线cos()2yx到点(3,0)B的有向弧，计算第二型曲线积分22()d()dlxyxxyyxy．12、设S为椭球面1222222czbyax的外侧，计算第二型曲面积分2223/2()dd()dd()dd()SxyzyzyzxzxzxyxyIxyz．13、计算空间第二型曲线积分222222()d()d()dLyzxzxyxyz，其中L为八分之一球面1222zyx，0,0,0zyx的边界线，从球心看L，L为逆时针方向．14、设S为球面2222)()()(Rczbyax外侧，其中a,b,c,R均为常数，且R0，计算222ddddddSxyzyzxzxy．