第五章--有限元法求解平面问题

第一节有限元法概述第二节基本物理量和方程的矩阵表示第三节结构离散化第四节单元位移模式形函数第五节单元分析单元刚度矩阵第六节载荷移置第七节整体分析总体刚度矩阵第八节边界条件处理求解第九节ANSYS简介及算例第一节有限元法概述为什么需要有限元？求解弹性力学问题，就是在一定边界条件下，求解平衡微分方程、几何方程和物理方程等微分方程组，得出应力、应变和位移的函数式解答。对于工程实际问题，由于物体的形状和受力情况等比较复杂，往往难以求出函数式的解答。因此，寻求近似解法就成了必由之路。经过多年的探索，近似算法有许多种，但常用的数值分析方法就是差分法和有限元法。即把微分dx，dy，dz变成差分Δx，Δy，Δz，把微分方程变成代数方程组。如果是一般规则的曲面，对方程和边界条件的表达都要增加很多困难，差分法计算模型可给出其基本方程的逐点近似值（差分网格上的点）。但是对于不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件差分法就难于应用了。因此这种方法的适用性有限制，特别对有不同构件组合成的结构，很难使用差分方法。差分法有限元法把求解区域划分成由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解的一种数值计算方法。由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。有限元法的应用有限元法广泛应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。①可求解由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）；②可求解各类场分布问题（流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题）；③可求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。当前，有限元法已经成为结构分析的有效方法和手段，它几乎是用于所有连续介质和场的问题。结构分析结构分析用于确定变形、应变、应力及反作用力。静力分析用于静态荷载.可以考虑结构的线性及非线性行为，例如：大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等.超弹密封结构分析（续）模态分析：计算线性结构的自振频率及振形.谱分析是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起的结构应力和应变(也叫作响应谱).提供标准的隐式动力学分析以外，还提供了显式动力学分析模块。用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的非线性行为.它的显式方程求解冲击、碰撞、快速成型等问题，是目前求解这类问题最有效的方法.结构分析（续）结构分析（续）谐响应分析-确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应.瞬态动力学分析-确定结构对随时间任意变化的载荷的响应.可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为.特征屈曲分析-用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模态形状.(结合瞬态动力学分析可以实现非线性屈曲分析.)专项分析:断裂分析,复合材料分析，疲劳分析动力分析包括质量和阻尼效应。模态分析，用于计算固有频率和振型。谐响应分析，用于确定结构对正弦变化的已知幅值和频率载荷的响应。瞬态动力学分析，用于确定结构对随时间任意变化载荷的响应，可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为。可进行显示动力分析模拟以惯性力为主的大变形分析。用于模拟冲击、碰撞、快速成形等。热分析热分析用于确定物体中的温度分布。可模拟三种热传递方式：热传导、热对流、热辐射。稳态分析忽略时间效应瞬态分析确定以时间为函数的温度值等。可模拟相变（熔化及凝固）电磁分析电磁分析用于计算电磁装置中的磁场静态磁场及低频电磁场分析模拟由直流电源，低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场。例如：螺线管制动器、电动机、变压器磁场分析中考虑的物理量是：磁通量密度、磁场密度、磁力和磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等。流体分析计算流体动力学(CFD)用于确定流体中的流动状态和温度。能模拟层流和湍流，可压缩和不可压缩流体，以及多组份流。应用：航空航天，电子元件封装，汽车设计。典型的物理量是：速度，压力，温度，对流换热系数。耦合场分析耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。因为两个物理场之间相互影响，所以单独求解一个物理场是不可能的。例如：热-应力分析、压电分析（电场和结构）、声学分析（流体和结构）、热-电分析、感应加热（磁场和热）、静电-结构分析双金属片受热变形1）功能强大。一般都可以进行多种物理场分析，如结构分析、温度场分析、电磁场分析、流场分析、多场耦合分析等；2）具有丰富的材料库。可以处理多种材料，如金属、土壤、岩石、塑料、橡胶、木材、陶瓷、混凝土、复合材料等；3）具有多种自动网格划分技术，自动进行单元形态、求解精度检查及修正；通用有限元软件的共同之处:有限元法的软件简介4）具有强大的后处理及图像处理功能；5）具有与多种CAD系统直接连接的接口；6）具有良好的用户开发环境；7）具有良好的维护和培训能力（ＧＵＩ）；8）技术成熟，已推向市场多年，版本不断的更新。通用有限元软件的共同之处几个著名的通用有限元软件简介1.ANSYSANSYS软件是美国ANSYS公司的产品，该公司成立于1970年，公司总部位于美国宾夕法尼亚的匹兹堡。ANSYS软件是融结构、流体、电磁场、声场和耦合场分析于一体的大型通用有限元软件，可广泛应用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及科学研究。它的显著特点是具有独一无二的多场耦合分析功能，可处理高速变形和高度非线性问题（如冲击、爆炸、碰撞、实体变形、板成形），边界元流体动力学问题（如水下结构振动、气弹颤振分析）。Marc软件原为美国MARC公司的产品，该公司创建于1967年，MARC公司致力于非线性有限元技术的研究、非线性有限元软件的开发。1999年6月，美国MSC公司收购了MARC公司，相应地将该软件更名为MSC.Marc软件。MSC公司创建于1963年，总部设在美国的洛杉矶。MSC.Marc软件具有广泛的应用范围，已成为解决复杂的工程问题，完成学术研究的高级通用有限元软件。2.MSC.MarcADINA软件是由美国ADINAR&D公司研究开发的完全商品化的工程有限元分析软件，已推向市场三十多年，可进行线性、非线性、静力、动力、屈曲、热传导、压缩与不可压缩流体动力学分析、流-固耦合分析。在中国，美国的ADINAR&D公司与亚得科技有限公司进行全面的合作，由亚得科技有限公司负责在中国的市场销售、技术培训、技术支持。据网站信息，8.0版本已问世。3.ADINAMSC.NASTRAN是世界上首屈一指的大型通用有限元软件，其使用者已遍布全球，并成功地应用于我国的宇航、汽车、电子、承重设备、自行车部件设计、半导体、消费产品、运输、机械等工业部门。1996年美国国家航天航空局（NASA）为了满足当时航空业对结构分析的迫切需求，主持开发大型应用有限元程序的招标，美国MSC公司参与了整个ASTRAN的开发过程。4.MSC.NASTRANMSC.NASTRAN可在Windows平台上使用，有近70余种单元独特的单元库，可进行静力分析、屈曲分析、动力分析、非线性分析、热传导分析、空气动力弹性及颤振分析、气-固耦合分析、多级超单元分析、高级轴对称分析、设计灵敏度及优化分析、复合材料分析等。在计算流体动力学方面不但能进行一般的热传导分析，而且还可对压力容器进行应力线性化分析和疲劳分析。MSC.NASTRAN2001增加的焊接单元CWELD，可以模拟点焊、螺栓、铆钉。ALGOR软件是美国ALGOR公司针对微机平台而开发的有限元分析软件，他的早期版本是在SAP5源程序的基础上，添加ViziCAD图像处理软件开发而成的。目前该软件可运行于从DOS到Windows操作系统的微机平台。该软件是一个综合性的大型软件，它涉及到结构分析、场分析、粘性流体动力学分析、多刚体运动学/动力学分析、管道CAD等内容。中国海王星独家代理ALGOR软件。5.ALGORFEM简史1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。1956年，特纳等人提出了FEM。20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用于工程问题。1960年提出了FEM的名称。20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。3.整体分析。有限单元法的基本思路FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法。其理论基础是分片插值技术与变分原理。1.将连续体变换为离散化结构；2.单元分析；FEM的分析过程：(a)桁架(b)深梁（连续体）结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a））。弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。1.结构离散化－－将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构（图（c））：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散化结构’。(c)深梁（离散化结构）图（c）与图(a）相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。2.单元分析每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。取各结点位移为基本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用来表示。),2,1()(ivuTiiiδ),2,1(iiδ（1）应用插值公式,由单元结点位移，求单元的位移函数Tmjie)(δδδδ。Tyxvyxu)),(),,((d这个插值公式称为单元的位移模式，为：。eΝδd单元分析的主要内容：（4）应用虚功方程，由单元的应力，求出单元的结点力，表示为（3）应用物理方程，由单元的应变，求出单元的应力，表示为（2）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变，表示为。eSδσ。eBδεεσ。emjiekδFFFF(－－单元对结点的作用力，与数值相同,方向相反，作用于结点。--结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。TiyixFF(iFTiyixFF(iFiFimjxyoiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFivmvjviumuju（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化为结点荷载，表示为.(eLmLjLieLFFFF为已知值,是用结点位移表示的值。通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求出各单元的应变和应力。各单元移置到i结点上的结点荷载结点平衡：其中表示对围绕i结点的单元求和；iFLiF3.整体分析,iF,FLi),2,1(,ieLieiFFe各单元对i结点的结点力作用于结点i上的力有：3.整体分析2.对单元进行分析1.将连续体变换为离散化结构归纳起来，FEM分析的主要步骤：（1）单元的位移模式（2）单元的应变列阵（4）单元的结点力列阵（5）单元的等效结点荷载列阵建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。（3）单元的应力列阵思考题1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性力学方法求解，为什么？2.在平面问题中，是否也可以考虑其它的单元形状，如四边形单元？第二节基本物理量和方程的矩阵表示本章无特别指明，均表示为平面应力问题的公式。采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。。Tyxff)(f。Tyxvyxu)),(,),((d。Txyyxγεε)(ε。Txyyxτσσ)(σ。Tjjiivuv