黎曼积分与勒贝格积分的比较

毕业论文题目黎曼积分与勒贝格积分的比较学院****************姓名****专业班级********学号*********指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日黎曼积分与勒贝格积分的比较摘要本文介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念，通过对两类积分的基本性质，可积条件,结合相关定理，分析了勒贝格积分在积分与极限交换次序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处，并结合具体实例，具体说明了黎曼积分和勒贝格积分之间的联系与区别.关键字黎曼积分；勒贝格积分；比较；可测函数；可积函数.目录引言...........................................................11定义.........................................................11.1黎曼积分的定义..........................................11.2勒贝格积分的定义........................................22黎曼积分与勒贝格积分的基本性质..............................22.1黎曼积分的基本性质......................................22.2勒贝格积分的基本性质....................................33黎曼可积与勒贝格可积的条件..................................43.1黎曼可积的条件..........................................43.2勒贝格可积的条件........................................54相关定理....................................................54.1与勒贝格积分有关的定理..................................54.2与黎曼积分有关的定理....................................65黎曼积分与勒贝格积分的联系..................................66黎曼积分与勒贝格积分的区别..................................87实例.......................................................10总结..........................................................11参考文献......................................................12致谢..........................................................131黎曼积分与勒贝格积分的比较引言勒贝格积分相对于黎曼积分要迟发展了半个世纪.我们知道，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要作用.黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数，就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样方便.而用勒贝格积分处理这一类问题是相当灵活的.事实上，如果不用勒贝格测度概念，数学分析中的一些道理很难讲清楚.下面就具体比较一下勒贝格积分和黎曼积分的不同处理方法.1定义1.1黎曼积分的定义设fx在,ab上有定义1）作划分.在,ab上添加1n个分点得到012:=nTaxxxxb，将,ab分成n个小区间1,iixx，1,2,.in记小区间的长度为1iiixxx.2）取近似.任取点1,iiixx，用底为ix，高为if的矩形面积近似代替小的曲边梯形的面积.3）求和.这些小矩形面积之和为1niiifx.4）取极限.令1maxiinx，当0时，极限01limniiifx存在.则称fx在,ab上黎曼可积，且有01limnbiiaifxdxfx21.2勒贝格积分的定义设fx是有界可测集E上的可测函数1）(简单函数的积分)设E上简单函数1knkekxyx，其中kkeEy等为互不相交的可测集，ky等互异，kex表示ke的特征函数.和1nkkkyme为简单函数x在E上的积分，并记为1nkkEkxdmyme2）(非负可测函数的积分)取简单函数满足0xfxxE，另x变动，定义fx在E上积分为0supEEffxdmxdm如果此量为有限，则称fx在E上可积，否则只说fx在E上积分为（这时fx在E上有积分但不可积）.3)（一般可测函数的积分）对于一般可测函数fx，当Efxdm与Efxdm不同时为时，定义fx在E上的积分为EEEfxdmfxdmfxdm当此式右端两项均为有限项时，fx的积分是有限的，称fx在E上可积.2黎曼积分与勒贝格积分的基本性质2.1黎曼积分的基本性质性质1若f在,ab上黎曼可积，k为常数，则kf在,ab上黎曼可积，且bbaakfxdxkfxdx.性质2若f，g都在,ab上黎曼可积，则fg在,ab上也黎曼可积，且bbbaaafxgxdxfxdxgxdx.3性质3若f，g都在,ab上黎曼可积，则fg在,ab上也黎曼可积.性质4f在,ab上黎曼可积的充要条件是:任给,cab，f在,ac与,cb都黎曼可积，且有等式bcbaacfxdxfxdxfxdx.性质5设f为,ab上的黎曼可积函数.若0fx，,xab，则0bafxdx.性质6若f在,ab上黎曼可积，则fx在,ab上也黎曼可积，且bbaafxdxfxdx.2.2勒贝格积分的基本性质性质1设fx是有界可测集E上的可积函数，1nkkEE，kE等均可测且两两不相交，则有12nEEEEfxdmfxdmfxdmfxdm.性质2设fx在有界可测集E上可积，则对任意正数，有正数，使当meeE时就有efxdm.性质3设fx是有界可测集E上的可积函数，1nkkEE，kE等均可测且两两不相交，则12nEEEEfdmfdmfdmfdm.性质4设fx在E上可积，则对任何实数c，cfx也可积，且EEcfxdmcfxdm.性质5设在f，gE上均可积,则fg也可积，且EEEfgdmfdmgdm.4性质6设在f，gE上均可积,且fxgx，则EEfdmgdm.3黎曼可积与勒贝格可积的条件3.1黎曼可积的条件充分条件：1、若fx为定义在,ab上的连续函数，则fx在,ab上黎曼可积.2、若fx为定义在,ab上的只有有限个间断点的有界函数，则fx在,ab上黎曼可积.3、若fx为定义在,ab上的单调函数，则fx在,ab上黎曼可积.4、若fx为定义在,ab上的有界函数，是fx的间断点，且lim,nnccab，则fx在,ab上黎曼可积.充要条件：设fx在,ab上有界1、fx在,ab上黎曼可积的充要条件是：fx在,ab上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设|1,2,iTxin为对,ab的任意分割.由fx在,ab上有界，它在每个ix上存在上、下确界：supiixMfx，inf,1,2,,.iixmfxin作和1niiiSTMx，1niiisTmx，则有bbaaSTdxsTdx.2、fx在,ab上黎曼可积的充要条件是：任给0，总存在相应的一个分割T，5使得STsT.3、fx在,ab上黎曼可积的充要条件是：任给0，总存在相应的某一分割T，使得iiTx（其中iiiMm，称为f在ix上的振幅）.必要条件：若函数fx在,ab上黎曼可积，则fx在,ab上必定有界.3.2勒贝格可积的条件充分条件：1、若fx是有界可测集E上的非负可测函数，则fx在E上勒贝格可积.2、若可测函数fx，gx在可测集E上几乎处处满足0gxfx，则当f可积时，g也可积.3、设fx为定义在有限区间上的函数，若黎曼可积，则必然勒贝格可积.充要条件：1、设fx是可测集E上的有界函数，则fx在E上勒贝格可积的充要条件是：fx在E上勒贝格可测.2、设fx是可测集E上的连续函数，则fx在E上勒贝格可积的充要条件是：fx在E上勒贝格可测.4相关定理4.1与勒贝格积分有关的定理1、（唯一性定理）设fx在可测集E上勒贝格可积，则0Efdm的充要条件是0f.2、（勒维定理）设可测集E上可测函数列nfx满足下面的条件：6120;fxfxlimnnfxfx，则nfx的积分序列收敛于fx的积分：limnEnfxdmfxdm.3、（法杜定理）设nfx是可测集E上的非负可测函数列，则limlimnnEEnnfxdmfxdm.4、（控制收敛定理）设可测集E上可测函数列nfx满足下面的条件：nfx的极限存在，limnnfxfx，且有可积函数gx使nfxgx;xEnN，则fx可积，且有limnEEnfxdmfxdm.4.2与黎曼积分有关的定理1（连续性）若函数列nfx在区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数fx在I上也连续.2（可积性）若函数列nfx在,ab上一致收敛，且每一项都连续，则limlimbbnnaannfxdxfxdx.3（可微性）设nfx为定义在,ab上的函数列，若0,xab为nfx的收敛点，nfx的每一项在,ab上有连续的导数，且'nfx在,ab上一致收敛，则limlimnnnnddfxfxdxdx.5黎曼积分与勒贝格积分的联系1、对于定义在,ab上的函数fx，若它是黎曼可积的，则必然是勒贝格可积的，且,babaLfxdxRfxdx由此可知，通常在计算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那7么就先化为黎曼积分求解.下面先看一个例子.例1计算311fxx在1,2上的积分.解用截断函数求解fx是1,2上的非负函数，作截断函数311nnfxx33111112xnxn显然，对每个nfx均黎曼可积，故也勒贝格可积，且有33112131,21111nnnfxdxRndxRdxx32133122nnnn