二阶常系数非齐次线性微分方程讲解

1第十节二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一般式是(1)xfqy'pyy其中p、q是常数。一、型xmexpxf)()(是x的一个m次多项式：xPm其中为常数，.1110mmmmmaxaxaxaxP对f(x)的下面两种最常见形式，采用待定系数法来求出y*。由定理3，只要求出(1)的一个特解y*及(1)对应的齐次方程0'qypyy的通解Y，.*yYy即可求得(1)的通解:2可能是方程(1)的特解(其中Q(x)是某个多项式).xexQy)(*)3()()()()(')2()(2xPxQqpxQpxQm要使(3)成立，Q(x)应是一个m次多项式，推测：,exQ*yx代入方程(1)并消去,xe为了确定Q(x)，将xQxQe*'yxxQxQxQeyx2*2得讨论：（i）如果,02qp即λ不是特征根。mmmmmbxbxbxbxQxQ1110)(不妨设代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定,m,,,ibi210进而得(1)的特解.)(*xexQyxxxxexQxQexQexQexQ)(003,02qp,02p（ii）如果且即λ是特征方程的单根。)()(xxQxQm同样可以定出的系数)(xQm,m,,,ibi210令（iii）如果且，02qp02p即λ是特征方程的重根。要使(3)成立，)('xQ应是一个m次多项式,令要使(3)式成立，)()(2xQxxQm仍是比较(3)式两端的系数来确定的系数。)(xQm)(''xQ应是m次多项式.4注：若λ是特征方程的s重根，k=s.上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但k是特征方程含根λ的重复次数，即若λ不是特征方程的根，k=0；2λ是特征方程的重根k=0λ不是特征根1λ是特征方程的单根其中总之，当时，方程(1)具有形如xmkexQxy)(*的特解，)(xQm)(xPm其中是与同次(m次)的多项式，xmexpxf)()((1)xfqy'pyy5代入所给方程，得13323100xbbxb所以31,110bb于是得原方程的一个特解为31*xy;31321xeCeCyxx所求通解为于是齐次方程的通解为：xxeCeCY3213,121rr所以特征根为：13)(xxf又,)13(0xexλ=0不是特征根，故原方程特解设为：xebxby010)(*10bxb例1求下列方程的通解.6'5)2(;133'2)1(2xxeyyyxyyy（1）对应齐次方程的特征方程为0322rr解6.6'5)2(2xxeyyy于是齐次方程的通解为xxeCeCY3221,)(2xxexf由于λ=2是特征方程的单根，对应齐次方程的特征方程为；0652rr3,221rrxbbxb10022代入所给方程，得1,2110bb所以xexxy2)121(*于是得原方程的一个特解为.)2(21223221xxxexxeCeCy所求通解为xebxbxy210)(*故原方程特解设为：7例2求解2,152300xxyyyyy解于是齐次方程的通解为xxeCeCY221,exfx05由于λ=0不是特征方程的根，对应齐次方程的特征方程为0232rr2,121rr52A代入方程，得,25A所以25*y于是得原方程的一个特解为25221xxeCeCy所求通解为Ay*故原方程特解设为：把2,100xxyy代入上式，得27521CC所以原方程满足初始条件的特解为2527532xxeey8)(1xf)(2xf]sin)(cos)([)(xxpxxpexfnlx二、]sin)(cos)([)(xxpxxpexfnlx型由欧拉公式：,2sin2cosieexeexixixixix变为：xf把xixiexPexP)()()()(ieePeePexixinxixilx22xinlxinleiPPeiPP2222xfxfqyypy219*1y*2yxxRxxRexymmxksincos*21由第一种情形及定理4的结论，对于此种类型，特解可设为：ximkximkexQxexQxy)()(*改写为如下形式：m=max{l,n}。iPPxPnl22其中iPPxPnl22与都是m次多项式，其中xR,xRmm21都是m次多项式，0λ±iω不是特征根k=1λ±iω是特征根m=max{l,n}，且qyypyxixiexPexP)()()()(]sin)(cos)([xxpxxpeqyypynlx10代入所给方程，得xxxadcxxcbax2cos2sin)433(2cos)433(所求通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy解对应齐次方程的特征方程为012rir2,1xCxCYsincos21于是齐次方程的通解为)10)(,)(,2,0(,2cos)(mxPxxPxxxfnl即由于94,0,0,31dcba所以xxxy2sin942cos31*于是得原方程的一个特解为xdcxxbaxy2sin)(2cos)(*故原方程特解设为：λ±iω=±2i不是特征方程的根，取,0k例3求方程xxyy2cos''的通解。]sin)(cos)([xxpxxpeqyypynlxxxRxxRexymmxksincos*2111代入所给方程，得0,41BA所求通解为xxexCxCeyxx2cos412sin2cos21解齐次方程的特征方程为0522rrir212,1xCxCeYx2sin2cos21于是齐次方程的通解为)0,1)(,0)(,2,1(,2sin)(mxPxPxexfnlx由于xBxAxeyx2sin2cos*故原方程特解设为：λ±iω=1±2i是特征方程的根，取,1k例4求方程xeyyyx2sin52''的通解。于是得原方程的一个特解为xxeyx2cos41*12例5求方程的通解。xeyyxcos''由此求得0,21,21BCA齐次方程的通解为xCxCYsincos21应有形式的特解；xeyy''xAe因为有形式的特解，xyycos'')sincos(xCxBx应代入所给方程，得xexBxCAexxcossin2cos22所求通解为.sin221)sincos(21xxexCxCyx于是求得一个特解为xxeyxsin221*解对应齐次方程的特征方程为012rir2,1)sincos(*xCxBxAeyx故特解应设为13第十二节微分方程的幂级数解法求解微分方程(2)(1)00yyy,xf'yxx其中：mllmyyxxayyaxxaayxf0000101000,以这些常数为系数的级数（3）就是上面初值问题的解。一、一阶线性微分方程设所求特解可展开为x-x0的幂级数：(3)0202010nnxxaxxaxxayy21na,,a,a其中是待定的系数。,21na,,a,a把（3）代入（1）中，比较等式两边x-x0的同次幂的系数，就可定出常数14例1求微分方程满足的特解。2yx'y00xy解0000y,x故设221nnxaxaxay把的幂级数展开式代入原方程，得'y,y543245342321xaxaxaxaa比较系数得,201,0,0,21,054321aaaaa于是所求解的幂级数展开式的开始几项为.2012152xxy4312232122122xaaaxaaxax15二、二阶齐次线性微分方程例2求解初值问题:10000xx'y,yxy''y这里，xxQ,xP0由得.a,a1010,'y,yxx1000解满足定理的条件。则.xna'ynnn11,xaynnn0设可在－R＜x＜R内展开为x的幂级数，nnnxay0内该方程必有形如的解。定理0'yxQyxPy如果方程中的系数P(x)与Q(x)那末在－R＜x＜R16;2nnnxaxy代入所给方程，并按x的升幂集项，然后比较系数得003410065432,a,a,a,a,a一般地,,nnnaann431212由此可推得,a,aaa3467910100,,3467110987一般的,,mmma,aammm21343131013313于是所求的特解为.mmxxxxym343133467341374;1'12nnnxnay.122nnnxanny