ACM培训第六讲-分治

ACM程序设计第六讲-分治湖南工学院张新玉[e-mail]•将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。算法总体思想nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=•对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。算法总体思想•对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)•将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。算法总体思想•将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)算法总体思想•将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。凡治众如治寡，分数是也。----孙子兵法分治法的适用条件分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：•该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；•该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质(问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的)•该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。•利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加，因此大部分问题满足这个特征。这条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划。这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。分治法的基本步骤divide-and-conquer(P){if(|P|=n0)adhoc(P);//解决小规模的问题dividePintosmallersubinstancesP1,P2,...,Pk；//分解问题for(i=1,i=k,i++)yi=divide-and-conquer(Pi);//递归的解各子问题returnmerge(y1,...,yk);//将各子问题的解合并为原问题的解}人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。分治法的复杂性分析一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：11)()/()1()(nnnfmnkTOnT通过迭代法求得方程的解：1log0log)/()(nmjjjkmmnfknnT注意：递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当mi≤nmi+1时，T(mi)≤T(n)T(mi+1)。二分搜索技术分析：如果n=1即只有一个元素，则只要比较这个元素和x就可以确定x是否在表中。因此这个问题满足分治法的第一个适用条件分析：比较x和a的中间元素a[mid]，若x=a[mid]，则x在L中的位置就是mid；如果xa[mid]，由于a是递增排序的，因此假如x在a中的话，x必然排在a[mid]的前面，所以我们只要在a[mid]的前面查找x即可；如果xa[i]，同理我们只要在a[mid]的后面查找x即可。无论是在前面还是后面查找x，其方法都和在a中查找x一样，只不过是查找的规模缩小了。这就说明了此问题满足分治法的第二个和第三个适用条件。分析：很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在a[i]的前面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适用条件。给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找出一特定元素x。分析：该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题;分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；分解出的各个子问题是相互独立的。二分搜索技术给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找出一特定元素x。据此容易设计出二分搜索算法：publicstaticintbinarySearch(int[]a,intx,intn){//在a[0]=a[1]=...=a[n-1]中搜索x//找到x时返回其在数组中的位置，否则返回-1intleft=0;intright=n-1;while(left=right){intmiddle=(left+right)/2;if(x==a[middle])returnmiddle;if(xa[middle])left=middle+1;elseright=middle-1;}return-1;//未找到x}算法复杂度分析：每执行一次算法的while循环，待搜索数组的大小减少一半。因此，在最坏情况下，while循环被执行了O(logn)次。循环体内运算需要O(1)时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn)。大整数的乘法请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算小学的方法：O(n2)效率太低分治法:XY=ac2n+(ad+bc)2n/2+bd为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。1.XY=ac2n+((a-b)(d-c)+ac+bd)2n/2+bd2.XY=ac2n+((a+b)(d+c)-ac-bd)2n/2+bd复杂度分析T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)较大的改进11)()2/(3)1()(nnnOnTOnT细节问题：两个XY的复杂度都是O(nlog3)，但考虑到a+c,b+d可能得到m+1位的结果，使问题的规模变大，故不选择第2种方案。大整数的乘法请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算小学的方法：O(n2)效率太低分治法:O(n1.59)较大的改进更快的方法??如果将大整数分成更多段，用更复杂的方式把它们组合起来，将有可能得到更优的算法。最终的，这个思想导致了快速傅利叶变换(FastFourierTransform)的产生。该方法也可以看作是一个复杂的分治算法，对于大整数乘法，它能在O(nlogn)时间内解决。是否能找到线性时间的算法？？？目前为止还没有结果。Strassen矩阵乘法A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为:nkjkBkiAjiC1]][[]][[]][[若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的一个元素C[i][j]，需要做n次乘法和n-1次加法。因此，算出矩阵C的个元素所需的计算时间为O(n3)传统方法：O(n3)Strassen矩阵乘法使用与上例类似的技术，将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成4个大小相等的子矩阵。由此可将方程C=AB重写为：传统方法：O(n3)分治法:222112112221121122211211BBBBAAAACCCC由此可得：2112111111BABAC2212121112BABAC2122112121BABAC2222122122BABAC复杂度分析T(n)=O(n3)没有改进22)()2/(8)1()(2nnnOnTOnTStrassen矩阵乘法传统方法：O(n3)分治法:为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。222112112221121122211211BBBBAAAACCCC)(2212111BBAM2212112)(BAAM1122213)(BAAM)(1121224BBAM))((221122115BBAAM))((222122126BBAAM))((121121117BBAAM624511MMMMC2112MMC4321MMC731522MMMMC复杂度分析T(n)=O(nlog7)=O(n2.81)较大的改进22)()2/(7)1()(2nnnOnTOnTStrassen矩阵乘法传统方法：O(n3)分治法:O(n2.81)更快的方法??Hopcroft和Kerr已经证明(1971)，计算2个２×２矩阵的乘积，7次乘法是必要的。因此，要想进一步改进矩阵乘法的时间复杂性，就不能再基于计算2×2矩阵的7次乘法这样的方法了。或许应当研究３×３或５×５矩阵的更好算法。在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。目前最好的计算时间上界是O(n2.376)是否能找到O(n2)的算法？？？目前为止还没有结果。棋盘覆盖在一个2k×2k个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。棋盘覆盖当k0时，将2k×2k棋盘分割为4个2k-1×2k-1子棋盘(a)所示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如(b)所示，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘1×1。棋盘覆盖publicvoidchessBoard(inttr,inttc,intdr,intdc,intsize){if(size==1)return;intt=tile++,//L型骨牌号s=size/2;//分割棋盘//覆盖左上角子棋盘if(drtr+s&&dctc+s)//特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr,tc,dr,dc,s);else{//此棋盘中无特殊方格//用t号L型骨牌覆盖右下角board[tr+s-1][tc+s-1]=t;//覆盖其余方格chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);}//覆盖右上角子棋盘if(drtr+s&&dc=tc+s)//特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);else{//此棋盘中无特殊方格//用t号L型骨牌覆盖左下角board[tr+s-1][tc+s]=t;//覆盖其余方格chessBoard(tr,tc+s,t