思科数学江苏省南师附中等五校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试卷

·1·江苏省南师附中等五校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试卷2013．02注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．．1．已知集合A={－1,0,1,2}，B={x|x2－x≤0}，则A∩B=▲．2．设a为实数，若复数(1＋2i)(1＋ai)是纯虚数，则a的值是▲．3．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[98，104)的产品个数是▲．4．如图所示的流程图的输出S的值是▲．（第3题）（第4题）5．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则两次点数之和为偶数的概率是▲．6．设k为实数，已知向量a→＝(1，2)，→b＝(－3，2)，且(ka→＋→b)⊥(a→－3b→)，则k的值是▲．开始结束S输出YN4a1,5SaaSS1aa·2·7．在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－3x（x＞0）上，则sin5α＝▲．8.已知实数x，y满足约束条件2,2,02yxyx，则z＝2x＋y的最小值是▲．9．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是▲．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是▲．11．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数．若f(1)＜f(lnx)，则x的取值范围是▲．12．若点P、Q分别在函数y＝ex和函数y＝lnx的图象上，则P、Q两点间的距离的最小值是▲．13．已知一个数列只有21项，首项为1100，末项为1101，其中任意连续三项a，b，c满足b＝2aca＋c，则此数列的第15项是▲．14．设a1，a2，…，an为正整数，其中至少有五个不同值.若对于任意的i，j(1≤i＜j≤n)，存在k，l（k≠l，且异于i与j）使得ai＋aj＝ak＋al，则n的最小值是▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径为50m，点O距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85m?·3·(第15题)16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD＝12BC.点E、F分别是棱PB、边CD的中点.（1）求证：AB⊥面PAD；（2）求证：EF∥面PAD.（（第16题）17．（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：x24＋y2＝1的上、下顶点分别为A、B，点P错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。在椭圆C上且异于点A、B错误!未找到引用源。，直线AP、PB与错误!未找到引用源。直线l：y＝－2分别交于点M、N.（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，错误!未找到引用源。求证：k1·k2错误!未找到引用源。为定值；（2）求线段MN长的最小值；（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．xyMNBAOP（第18题）FEPDCAB·4·19.（本小题满分16分）设非常数数列{an}满足an+2＝αan+1＋βanα＋β，n∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且α＋β≠0.（1）证明：数列{an}为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；（2）已知α＝1，β＝14，a1＝1，a2＝52，求证：数列{|an＋1－an－1|}(n∈N*，n≥2)与数列{n＋12}(n∈N*)中没有相同数值的项.20.（本小题满分16分）设函数f(x)的定义域为M，具有性质P：对任意x∈M，都有f(x)＋f(x＋2)≤2f(x＋1).（1）若M为实数集R，是否存在函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1，x∈R)具有性质P，并说明理由；（2）若M为自然数集N，并满足对任意x∈M，都有f(x)∈N.记d(x)＝f(x＋1)－f(x).(ⅰ)求证：对任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0；(ⅱ)求证：存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)＝c.·5·2012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研数学（附加题）2013.0221、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域．．．．．．．内．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A、（几何证明选讲选做题）如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．B、（矩阵与变换选做题）已知M＝1002，N＝12001，设曲线y＝sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．C、（坐标系与参数方程选做题）EPBOAC·6·在平面直角坐标系xOy中，直线m的参数方程为x＝3＋22ty＝－3＋22t（t为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．D、（不等式选做题）设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3．22、【必做题】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝13BB1，C1F＝13CC1.（1）求异面直线AE与A1F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值.23、【必做题】在数列{an}（n∈N*）中，已知a1＝1，a2k＝－ak，a2k－1＝(－1)k+1ak，k∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn.（1）求S5，S7的值；（2）求证：对任意n∈N*，Sn≥0.CAA1C1B1BEF·7·2012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研数学参考答案一、填空题：·1.{0,1}2.123.604.205.126.197.328.29.210.211.(0,1e)∪(e,＋∞)12.213.10100714.13二、解答题：15.（1）解：设点P离地面的距离为y，则可令y＝Asin(ωt＋φ)＋b.由题设可知A＝50，b＝60.………………2分又T＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y＝50sin(2π3t＋φ)＋60.………………4分再由题设知t＝0时y＝10，代入y＝50sin(2π3t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，从而φ＝－π2.………………6分因此，y＝60－50cos2π3t(t≥0).………………8分（2）要使点P距离地面超过85m，则有y＝60－50cos2π3t＞85，即cos2π3t＜－12.·8·………………10分于是由三角函数基本性质推得2π3＜2π3t＜4π3，即1＜t＜2.………………12分所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85m的时间有1分钟.………………14分16.证明：（1）因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥AB.………………2分在平面ABCD中，D作DM//AB，则由AB=12得DM=12.又BC=10，AD＝12BC，则AD=5，从而CM=5.于是在△CDM中，CD=13，DM=12，CM=5，则由22251213及勾股定理逆定理得DM⊥BC.又DM//AB，BC//AD，所以AD⊥AB.又PD∩AD＝D，所以AB⊥面PAD.………………6分（2）[证法一]取AB的中点N，连结EN、FN.因为点E是棱PB的中点，所以在△ABP中，EN//12PA.又PA面PAD，所以EN//面PAD.………………8分因为点F分别是边CD的中点，所以在梯形ABCD中，FN//AD.又AD面PAD，所以FN//面PAD.……………10分又EN∩FN＝N，PA∩DA＝A，所以面EFN//面PAD.………………12分又EF面EFN，则EF//面PAD.………………14分[证法二]延长CD，BA交于点G.连接PG，EG，EG与PA交于点Q.由题设AD∥BC，且AD＝12BC，所以CD＝DG，BA＝AG，即点A为BG的中点.又因为点E为棱PB的中点，所以EA为△BPG的中位线，即EA∥PG，且EA:PG＝1:2，故有EA:PG＝EQ:QG＝1:2.………………10分又F是边CD的中点，并由CD＝DG，则有FD:DG＝1:2.………………12分在△GFE中，由于EQ:QG＝1:2，FD:DG＝1:2，所以EF∥DQ.又EF面PAD，而DQ面PAD，所以EF∥面PAD.………………14分17.解：（1）由题设知x＝5时y＝11，则11＝a5－3＋10(5－6)2，解得a＝2.QGFEPDCABNMFEPDCAB·9·………………3分（2）由（1）知该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.………………6分对函数f(x)求导，得f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．令f′(x)＝0及3＜x＜6，解得x＝4．………………10分当3＜x＜4时，f′(x)＞0，当4＜x＜6时，f′(x)＜0，于是有函数f(x)在(3，4)上递增，在(4，6)上递减，所以当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.………………13分答：当销售价格x＝4时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.………………14分18.解：（1）由题设x24＋y2＝1可知，点A(0，1)，B(0，－1).令P(x0，y0)，则由题设可知x0≠0.所以，直线AP的斜率k1＝y0－1x0，PB的斜率为k2＝y0＋1x0.………………2分又点P在椭圆上，所以220014xy（x0≠0），从而有k1·k2＝y0－1x0.y0＋1x0＝y02－1x02＝－14.………………4分（2）由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，直线PB的方程为y－(－1)＝k2(x－0).由211yxky，解得231ykx；由212yxky，解得212ykx.所以，直线AP与直线l的交点13(,2)Nk，直线PB与直线l的交点21(,2)Mk.………………7分于是|13|21kkMN，又k1·k2＝－14，所以111133|4|4||||MNkkkk≥21134||||kk＝43，等号成立的条件是1134||||kk，解得132k.·10·故线段MN长的最小值是43.………………10分（3）设点Q(x,