山大版第一章-点的运动

山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/11运动学山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/12运动学－引言一、建立坐标系：世界上除了运动着的物体意外没有别的东西。对运动物体的描叙是相对的。描叙一个物体的运动必须以另一个物体作参考体，物体相对于不同的参考体的运动也不相同，静（定）坐标系：固连于（当对于地面）静止的物体上的坐标系动坐标系：固连于运动的物体上二、运动学研究内容：研究物体机械运动的几何性质，而不考虑致动的原因。主要任务有两个：1、介绍点和刚体相对于参考坐标系的运动方程的建立方法，即确定点和刚体的空间位置随时间变化的规律的方法2、研究点和刚体的运动学特征，即点和刚体上的点的运动方程、运动轨迹、速度、加速度以及刚体的转动的角速度、角加速度等。山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/13•研究对象：几何点，称为动点，有时简称为点。•研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。•研究方法：矢量法直角坐标法自然法第一章点的运动学山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/14第一章点的运动学－矢量法trr§1-1矢量法r为动点M的位置相对于一固定点O——原点的位置矢径，简称矢径矢径的矢端曲线就是动点M的运动轨迹r一、点的运动方程kzjyixtrr以O为原点建立指教坐标系Oxyz，矢径在三坐标轴上投影就是M点的坐标x、y、z，设、、为响应坐标轴的单位矢量，矢径可表示为：ijkr山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/15时刻的速度在点内的平均速度在点为内的位移在时间间隔为点tMtttMttMttttddrrvrvrrr0*lim)()(速度方向：沿点运动轨迹的切线方向速度单位：米/秒（m/s）公里/小时（km/h）第一章点的运动学－矢量法二、点的速度山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/16时刻的加速度在为点内的平均加速度在点为内的速度增量在时间间隔为点tMttttMttMtttt220*lim)()(drdddvvavavvv第一章点的运动学－矢量法加速度方向：沿速度矢端曲线的切线方向加速度单位：米/秒2（m/s2）公里/小时2（km/h2）三、点的加速度山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/17第一章点的运动－直角坐标法直角坐标与矢径坐标之间的关系kjir)()(tztytx§1-2直角坐标法一、点的运动方程与轨迹取一固定坐标系Oxyz运动轨迹：运动方程山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/18二、点的速度第一章点的运动－直角坐标法速度在坐标轴上的投影速度的大小：速度的方向余弦山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/19第一章点的运动－直角坐标法三、点的加速度加速度在坐标轴上的投影加速度的大小：加速度的方向余弦山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/110第一章点的运动－直角坐标法例1-1例1-1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。taMClBCACOC,,：已知求：①M点的运动方程②轨迹③速度④加速度山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/111解：①运动方程点M作曲线运动，取坐标系oxytalCMOCxcos)(cos)(talAMysin)(sin1)((2222alyalx）taMClBCACOC,,求：点的运动方程、轨迹、速度、加速度已知：第一章点的运动－直角坐标法例1-1②轨迹方程消去运动方程中的t,得轨迹③点M的速度talxvxsintalyvycos)(talaltalvvivx2cos2sin)(),cos(22talaltalvvjvy2cos2cos)(),cos(222222222222()sin()cos2cos2xyvvvlatlatlaalt山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/112taMClBCACOC,,求：点的运动方程、轨迹、速度、加速度已知：第一章点的运动－直角坐标法例1-1解续④点M的加速度talxvxsintalyvycos)(talxvaxxcos2talyvayysin2taltalaaayx24224222sin(cos）talal2cos222talaltalaax2cos2cos)(),cos(22iatalaltalaay2cos2sin)(),cos(22ja山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/1132,sin,costhztrytrx式中，r、、h为常数，试分析动点的运动轨迹、速度加速度例1-2动点的运动方程为第一章点的运动－直角坐标法例1-2解：①动点的运动轨迹,sin,costrytrx由222ryx得动点的运动轨迹为半径为r的圆柱表面的一条螺旋线。t=0时，x=r，y=0，z=0。2cos,sinhzvtryvtrxvzyx，222221rhrvvvvzyx22)2(),cos(rhhvvzkv②动点的速度xyzhrMv山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/1142,sin,costhztrytrx式中，r、、h为常数，试分析动点的运动轨迹、速度、加速度例1-2动点的运动方程为第一章点的运动－直角坐标法例1-2续解：③动点的加速度0sin22zzyyxxvaytrvaxtrconva，2222raaaazyx0),cos(aaazk这说明，加速度的方向与z轴正交，并指向z轴xyzhrMav)(222jijikjiayxyxaaazyx2cossinhzvtryvtrxvzyx山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/115第一章点的运动－自然法§1-3自然法当点的运动轨迹为已知的曲线时，采用自然法描述点的运动，各运动量的物理意义更明确，也更能反映点沿轨迹运动的实际情况)(tfs利用点的运动轨迹建立弧坐标，定点O为参考点，一侧为正，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定运动方程这种建立运动方程的方法称为自然法一、弧坐标山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/116第一章点的运动－自然法二、自然轴系密切面：在点的运动轨迹上取极为接近的两点M(P)和M´(P´)，其间弧长为Δs，两点的切线为和´当M´(P´)移至M(P)点时，和´决定一个平面。也就是说当P´(M´)→P(M)，即Δs→0，则此平面→极限位置，称为曲线在点M的密切面。山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/117法平面：过动点M并与切线垂直的平面主法线：法平面与密切面的交线副法线：过点M且垂直于切线及主法线的直线指向弧坐标的正方向，向τ单位矢量切指向曲线向内凹的一侧n主法向单位矢量第一章点的运动－自然法以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在M点的自然轴系副法线单位矢量nτb指向由右手螺旋法则确定山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/118第一章点的运动－自然法P点为动点山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/119第一章点的运动－自然法nτnτnτddτ12sin2limlimlim000sssssssddτn或写为：三、曲率和曲率半径曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。曲率半径：曲率的倒数。点的曲率ddlim10M——sss2sin2ττ100当，由此可得，＝又有同向，则垂直且与与，时，ssττnτnττn山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/120第一章点的运动－自然法ττddvvts速度四、点的速度动点沿轨迹由M到M′，经过Δt时间，其位移△r，为弧长增量△s。当Δt→0时，有则0bnvvtsvv，dd速度在自然坐标轴上的投影山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/121第一章点的运动－自然法nddddτddτvtsst其中全加速度故—nτnτddantaavtv2tvtvvttddττddτddddva)(加速度五、点的加速度慢反映速度大小变映速度22tstvaatttddddτa切向加速度—化，法向加速度—反映速度方向变122tsvaannnddna22ntaaa大小和方向：tanntaaττddvvts速度nτ1dsdat与v同号，加速运动反之，减速运动ab=0bnτabntaaa全加速度：山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/122第一章点的运动－自然法例1-3例1-3列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。解：由于列车沿圆弧轨道作匀加速运动at为常数，于是有因v0=0,当t=2min=120s时，v=54km/h=15m/s，代入上式2125.012015smtvat得①0,02Rvatn2125.0smtaa②，120smin2t222308.0smntaaa，222281.080015smRvan山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/123第一章点的运动－自然法例1-4半径为R的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角，如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。)(为常值t解：1)如图所示建立直角坐标系Oxy当轮子转过ϕ时，轮子与直线轨道的接触点为C。由于是纯滚动，有trrMCOC由纯滚动条件ttrMOOCxsinsin1tr