山大理论力学第二章-刚体的基本运动.

山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/11运动学山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/12第二章刚体的基本运动－平动第二章刚体的基本运动，刚体的平动和定轴转动称为基本运动。§2-1刚体的平行移动1.定义在刚体运动过程中,其上任一直线始终与其初始位置保持平行，这种运动称为平行移动，简称平移或平动山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/132.刚体平动的特点：•刚体平动时，刚体内各点的轨迹、速度和加速度的关系第二章刚体的基本运动－平动BABArrBBAAttvddrddrv0tBAddBBAAttaddvddva可见：刚体平动时，刚体内各点的轨迹形状都相同，且在同一瞬时，各点的速度和加速度相等。山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/14由此可知:刚体平动时，如刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动规律就完全确定了。故刚体平动的运动学问题可以归结为点的运动学问题。刚体平动→点的运动刚体的平动可以分为直线平动和曲线平动。直线平动刚体上各点的轨迹是平行的直线曲线平动刚体上各点轨迹是形状相同的曲线。第二章刚体的基本运动－平动山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/15第二章刚体的基本运动－平动山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/16第二章刚体的基本运动－例2-1例2-1荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长度为l，单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为，其中t为时间，单位为s；转角φ0的单位为rad，试求当t=0和t=2s时，荡木的中点M的速度和加速度。t4πsin0OABO1O2φll（+）M山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/17第二章刚体的基本运动－例2-1OABO1O2φll（+）M已知：荡木作平移求：t=0s和t=2s时，M点的速度和加速度A点的运动方程为tls4sin0π解：tltsv4πcos4πdd0将上式对时间求导，得A点的速度再求一次导，得A点的切向加速度tltva4πsin16πdd02tA点的法向加速度tllva4πcos16π22022nt4sin0π山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/18第二章刚体的基本运动－例2-1OABO1O2φll（+）M代入t=0和t=2s，即可求得A点即M点的速度和加速度。结果如下表00φ02(铅直向上)0(水平向右)00an(m·s-2)at(m·s-2)v(m·s-1)φ(rad)t(s)04πl016πl20216π山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/19第二章刚体的基本运动－定轴转动§2-2刚体的定轴转动1.定义刚体在运动过程中，刚体内或其延拓部分上有且只有一条直线始终固定不动，这种运动称刚体绕定轴转动，该固定直线称为转轴或轴线。山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/110转角是代数量，其正负号由右手法则确定2运动方程3．转动刚体的角位移，角速度和角加速度。第二章刚体的基本运动－定轴转动为正方向：大小的正方向转动刚体向表征刚体转动的快慢：ttdddd单位：rad/s（弧度/秒）n转/分（rpm）22dtddtdαω单位：rad/s2（弧度/秒2）山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/111第二章刚体的基本运动－定轴转动0tdd常量，匀速转动20000210ttttt时，当常量dd匀变速转动t022dtddtdαω单位：rad/s2（弧度/秒2）是代数量，大小表征刚体角速度变化的快慢；与同号，刚体加速转动；与异号，刚体减速转动两种刚体定轴转动特例山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/112定轴转动的特点刚体内，不在轴线上的各点均作圆周运动；圆周所在平面垂直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。第二章刚体的基本运动－定轴转动§2-3转动刚体内各点的速度和加速度山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/1131点的运动方程)()(tRtss2速度RRsv速度v的方向沿圆周的切线，指向由的转向确定。第二章刚体的基本运动－定轴转动v按的正方向规定弧坐标s的正向结论：转动刚体内任一点的速度大小，等于刚体的角速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的方向。山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/114第二章刚体的基本运动－定轴转动刚体在垂直于转轴的截面内，各点的速度分布图山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/115第二章刚体的基本运动－定轴转动3加速度切向加速度，RRstvatdd的正向圆周切线指向转动为正值时当角沿tαa，转动刚体内任一点的切向加速度的大小at，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离R的乘积，它的方向角加速度决定。如果与ω同号，at与同向,刚体做加速转动;如果与ω异号，at与反向，刚体做减速转动。山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/116an的方向与速度垂直并指向轴线2221RRRvan法向加速度第二章刚体的基本运动－定轴转动2tanntaa4222Raaant全加速度a结论：在每一瞬时，转动刚体内所有各点的加速度大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比；刚体内所有各点的加速度α与半径间的夹角θ都有相同的值。山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/117第二章刚体的基本运动－定轴转动刚体在垂直于转轴的截面内，同一瞬时各点的加速度分布图山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/118第二章刚体的基本运动－定轴转动山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/119例题：物体A和B以不可伸长的绳子分别绕在半径RA=50cm和RB=30cm的滑轮上。已知重物A具有匀加速度aA=100cm·s－2，且初速度vA0=150cm·s－1，两者都向上。试求：1）滑轮在t=3s内转过的转数，2）当t=3s时重物B的速度和走过的路程，3）当t=0时滑轮边缘上C点的加速度。ORARBABCvA0aA第二章刚体的基本运动－补充例题20000210ttttt时，当常量dd匀变速转动山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/120100scm150－ACvv2tscm100－ACaa可见滑轮的初角速度srad3100－ACRv滑轮的角加速度srad2501002t－ACRa1）求滑轮在3s内转过的转数。解：滑轮的转角rad1832213321020200ttDvC0vA0aCtaACAORARBB）（转86.220πN滑轮在3s内转过的转数为：第二章刚体的基本运动－补充例题山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/1212）当t=3s时重物B的速度和走过的路程续解：DvC0vA0aCtaACAORARBB第二章刚体的基本运动－补充例题srad1－＋93230trad322133滑轮轮转过的角度21821200ttcm路程：重物B走过物5400BBRscm540360213900212200tatvssBBBB这时B点的速度scm1－270BBRvscm方法二1－90330：00BBRvscm2－60230BBRa山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/122续解：DvC0vA0aACAORARBB第二章刚体的基本运动－补充例题当t=0时滑轮边缘上C点的切向加速度和法向加速度分别为2tscm100－ACaa且aC偏到CO的右侧，如图所示。故C点在t=0时的全加速度的大小，以及它和半径的夹角分别为scm450220n－ACRa2ntscm－46022CCCaaa5.12arctan23）求当t=0时滑轮边缘上C点的加速度。CaCtaCnaβ山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/123§2-4轮系传动比工程实际中，常用轮系改变机械的转速，如变速箱中的齿轮组，皮带组。一、齿轮传动第二章刚体的基本运动－定轴转动山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/124第二章刚体的基本运动－轮系传动比①啮合条件22112211RRRR,②传动比主动轮与从动轮的角速度（或转速）之比轮转向相反外啮啮合，取负，表示轮转向相反内啮啮合，取正，表示1212212112zzRRnni122121RR＝＝或BtAtBAaavv,说明：相啮合的两个齿轮，其角速度和角加速度与其节圆半径成反比山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/125第二章刚体的基本运动－轮系传动比二、皮带传动12212112rrnni2211rvvvvrBBAA不计传动带的厚度，且假定皮带与带轮之间无滑动山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/126第二章刚体的基本运动－例2-2n1ⅣⅠⅡⅢ例2-2减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为z1=36，z2=112，z3=32和z4=128，如主动轴Ⅰ的转速n1=1450r﹒min－1，试求从动轮Ⅳ的转速n4。山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUniversity2020/1/127第二章刚体的基本运动－例2-2n1ⅣⅠⅡⅢ解：用n1，n2，n3和n4分别表示各齿轮的转速，且有32nn应用齿轮的传动比公式，得,122112zznni344334zznni将两式相乘，得31424231zzzznnnn因为n2=n3，于是从动轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为4.1231424114zzzznni由图可见，从动轮Ⅳ和主动轮Ⅰ的转向相同。最后，求得从动轮Ⅳ的转速为minr11711414－inn山东大学ShandongUniversity山东大学ShandongUni