恒成立问题与有解问题的区别

恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。1、恒成立问题1.1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）0)(0mfa或ⅱ）0)(0nfa亦可合并定成0)(0)(nfmf同理，若在[m,n]内恒有f(x)0，则有0)(0)(nfmf例1、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或∴x-1或x3.1.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有00a，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x[-1,+)，F(x)0恒成立；ⅱ）当=4（a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：,1220)1(0af即,1030)2)(1(aaaa得-3a-2;综合可得a的取值范围为[-3，1]。1.3恒成立问题与变量分离联系若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例3、已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx+45a恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x45a-a+5要使上式恒成立，只需45a-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴45a-a+53即45aa+2上式等价于2)2(4504502aaaa或04502aa解得485a。注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。2、有解问题2.1有解问题与二次不等式联系例4、不等式220kxk有解，求k的取值范围。解：不等式220kxk有解2(1)2kx有解221kx有解2max221kx，所以(2)k，。2.2有解问题与绝对值不等式联系例5、对于不等式21xxa，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是M；对于任意[05]x，，使此不等式恒成立的实数a的集合为N，求集合MN，．解：由21(1)()213(12)21(2).xxfxxxxxx，，≤≤又()afx有解min()3afx，所以{3}Maa．令()gx21[05]()xxxagx，，，恒成立max()(5)9agxg．所以{9}Naa．2.3有解问题与导数联系例6、（06年湖北）设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)ex3,xR的一个极值点.(1)求a与b的关系（用a表示b），并求f(x)的的单调区间；（2）设a0，g(x)=xea4252，若存在S1，S2[0，4]，使得|f(S1)-g(S2)|1成立，求a的取值范围.解析：（1）xeabxaxxf32])2([)(，由)3(f=0得b=-2a-3.故f(x)=(x2+ax-2a-3)xe3因为)(xf=-[x2+(a-2)x-3a-3]xe3=-(x-3)(x+a+1)xe3.由)(xf=0得：x1=3，x2==-a-1.由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2，即a≠-4.当a-4时，x1x2，故f(x)在3,上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在,1a上为减函数.当a-4时，x1x2，故f(x)在1,a上为减函数，在[-a-1，3]上为增函数，在,3上为减函数.(2)由题意，存在S1，S2[0，4]，使得|f(S1)-g(S2)|1成立，即不等式|f(S1)-g(S2)|1在S1，S2[0，4]上有解.于是问题转化为|f(S1)-g(S2)|min1，由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出f(S1)和g(S2)在[0，4]上值域.因为a0，则-a-10，由（1）知：f(x)在[0，3]递增；在[3，4]递减.故f(x)在[0，4]上的值域为[min{f(0),f(4)},f(3)]=[-(2a+3)e3,a+6]，而g(x)=xea4252在[0，4]上显然为增函数，其值域422425,425eaa因为22251(6)()0,42aaa故22564aa|f(S1)-g(S2)|min=225(6)4aa，从而解230,01)6(4252aaaa得.故a的取值范围为23,0。假若问题变成：“对任意的S1，S2[0，4]，使得|f(S1)-g(S2)|1都成立，求a的取值范围.”则可将其转化为|f(S1)-g(S2)|max1。点评：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是决问题的工具.本题从函数的极值概念入手，借助导数求函数的单调区间，进而求出函数闭区间上的值域，再处理不等式有解问题。这里传统知识与现代方法交互作用，交相辉映，对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查。3、恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。（1）不等式f(x)k在xI时恒成立kxf,)(maxxI.或f(x)的上界小于或等于k；（2）不等式f(x)k在xI时有解kxf,)(minxI.或f(x)的下界小于k；（3）不等式f(x)k在xI时恒成立kxf,)(minxI.或f(x)的下界大于或等于k；（4）不等式f(x)k在xI时有解kxf,)(maxxI.或f(x)的上界大于k；解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。例7、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。（1）对任意x[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故hmin(x)≥0.令h′(x)=6x2-6x-12=0，得x=-1或2。由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故hmin(x)=-45+k，由k-45≥0，得k≥45.（2）据题意：存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x[-3，3]有解，故hmax(x)≥0，由（1）知hmax（x）=k+7，于是得k≥-7。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：]3,3[,)()(minmaxxxgxf，由g′(x)=6x2+10x+4=0，得x=-32或-1，易得21)3()(mingxg，又f(x)=8(x+1)2-8-k，]3,3[x.故.120)3()(maxkfxf令120-k≤-21，得k≥141。点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。参考文献：1、张世林郭东风.与时俱进的不等式恒成立与有解问题[J].-数学爱好者(高考版).山西省期刊协会2、代学奎.区别“有解”与“恒成立”[EB]数学中国。