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第1页（共20页）2015-2016学年山西省忻州一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．分析人的身高与体重的关系，可以用（）A．残差分析B．回归分析C．等高条形图D．独立性检验2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种3．已知f（x）=，则f（3）为（）A．1B．2C．4D．54．设随机变量X服从二项分布X～B（n，p），则等于（）A．p2B．（1﹣p）2C．1﹣pD．以上都不对5．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（）A．48B．36C．24D．126．若f（x）是R上周期为5奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）﹣f（4）=（）A．﹣1B．1C．﹣2D．27．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（）A．B．C．D．第2页（共20页）8．的值是（）A．1B．2C．4D．9．已知0＜a＜1，则方程a|x|=|logax|的实根个数是（）A．1个B．2个C．3个D．1个或2个或3个10．函数f（x）=ex（sinx+cosx）在区间[0，]上的值域为（）A．[，e]B．（，e）C．[1，e]D．（1，e）11．设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．812．在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A．800B．360C．240D．160二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．若对于任意的实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为．14．已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．15．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．第3页（共20页）16．设若存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（2）若A⊇B，求m的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．19．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．20．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？21．已知函数f（x）=alnx+（a≠0）．第4页（共20页）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若{x|f（x）≤0}=[b，c]（其中b＜c），求a的取值范围，并说明[b，c]⊆（0，1）．请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．第5页（共20页）2015-2016学年山西省忻州一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．分析人的身高与体重的关系，可以用（）A．残差分析B．回归分析C．等高条形图D．独立性检验【考点】两个变量的线性相关．【专题】概率与统计．【分析】根据人的身高和体重是两个具有线性相关关系的量，从而选出正确的研究方法．【解答】解：人的身高和体重是两个具有线性相关关系的量，应用回归分析来研究．故选：B．【点评】本题考查了具有线性相关关系的两个变量的分析问题，是基础题目．2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种【考点】组合及组合数公式．【专题】计算题．【分析】根据题意，先分析甲，有C42种，再分析乙、丙，有C43•C43种，进而由乘法原理计算可得答案．【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．【点评】本题考查组合数公式的运用，解题分析时注意事件之间的关系，选有择特殊要求的事件下手．第6页（共20页）3．已知f（x）=，则f（3）为（）A．1B．2C．4D．5【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：f（x）=，则f（3）=f（5）=f（7）=7﹣6=1．故选：A．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，是基础题．4．设随机变量X服从二项分布X～B（n，p），则等于（）A．p2B．（1﹣p）2C．1﹣pD．以上都不对【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】概率与统计．【分析】直接利用二项分布的期望与方差化简求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布X～B（n，p），则Dξ=np（1﹣p）．Eξ=np．∴==（1﹣p）2．故选：B．【点评】本题考查随机变量二项分布的期望与方程的求法，考查计算能力．5．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（）A．48B．36C．24D．12【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．第7页（共20页）【分析】根据题意，分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A22=2种排法，②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22=2种排法，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33=6种排法，则共有2×2×6=24种排法，故选C．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意此类问题中特殊元素应该优先分析．6．若f（x）是R上周期为5奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）﹣f（4）=（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性以及周期性，将3或4的函数值问题转化为1或2的函数值问题求解即可．【解答】解：∵若f（x）是R上周期为5的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），f（x+5）=f（x），∴f（3）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（4）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，∴f（3）﹣f（4）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1．故选：A．【点评】本题考查函数奇偶性与周期性的应用，即将自变量利用奇偶性、周期性进行转化，考查转化思想．7．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（）A．B．C．D．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】函数问题定义域优先，本题要先确定好自变量的取值范围；然后通过函数的单调性分别确定出m与n即可．第8页（共20页）【解答】解：根据题意，对于函数，有，所以当x=﹣1时，y取最大值，当x=﹣3或1时y取最小值m=2∴故选C．【点评】任何背景下，函数问题定义域优先，建函数模型是求解函数最值问题有效手段之一．8．的值是（）A．1B．2C．4D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】把原式的第二项的分母sin80°利用诱导公式变为cos10°，然后将原式通分后，利用两角差的正弦函数公式的逆运算化简后，约分可得值．【解答】解：原式=﹣=﹣==故选C【点评】考查学生灵活运用诱导公式及两角差的正弦函数公式化简求值，做题时应注意角度的变换．9．已知0＜a＜1，则方程a|x|=|logax|的实根个数是（）A．1个B．2个C．3个D．1个或2个或3个【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别作出函数y=a|x|和y=|logax|的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵0＜a＜1，∴分别作出函数y=a|x|和y=|logax|的图象如图：第9页（共20页）则由图象可知，两个函数的图象只有2个交点，即方程a|x|=|logax|的实根个数是2个，故选：B【点评】本题主要考查方程根的个数的判断，根据方程和函数之间的关系转化为函数图象的交点个数问题是解决本题的关键，注意要利用数形结合．10．函数f（x）=ex（sinx+cosx）在区间[0，]上的值域为（）A．[，e]B．（，e）C．[1，e]D．（1，e）【考点】导数的乘法与除法法则．【分析】计算f′（x）=excosx，当0≤x≤时，f′（x）≥0，f（x）是[0，]上的增函数．分别计算f（0），f（）．【解答】解：f′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=excosx，当0≤x≤时，f′（x）≥0，∴f（x）是[0，]上的增函数．∴f（x）的最大值在x=处取得，f（）=e，f（x）的最小值在x=0处取得，f（0）=．∴函数值域为[]故选A．【点评】考查导数的运算，求函数的导数，得到函数在已知区间上的单调性，并计算最值．第10页（共20页）11．设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．12．在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A．800B．360C．240D．160【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】二项式可化为[x2+（3x+2）]5，写出它的展开式，即可求得展开式中x的系数．【解答】解：由于（x2+3x+2）5=[x2+（3x