岩土数值分析作业

1.屈瑞斯卡（Tresca）准则与米赛斯(Mises)准则有何异同及优缺点？答：两个屈服准则的共同点:1）屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数。2）三个主应力可以任意置换而不影响屈服，同时，拉应力和压应力的作用是一样的。3）各表达式都和应力球张量无关。4）两个准则在简单拉伸或纯剪情况下是重合的。5）都主要适用于金属类材料。不同点：1）屈瑞斯卡（Tresca）准则没有考虑中间应力的影响，三个主应力大小顺序不知时，使用不便；2）米赛斯（Mises）准则考虑了中间应力的影响，使用方便。3）屈瑞斯卡（Tresca）准则还主要适用于纯粘性土。4）在平面上屈瑞斯卡屈服曲线为六边形，米赛斯屈服曲线为圆形。屈瑞斯卡（Tresca）准则的优缺点：优点：当知道主应力的大小顺序时，应用简单方便。缺点：（1）没有考虑正应力和静水压力对屈服的影响。（2）屈服面有转折点，棱角，不连续。米赛斯(Mises)准则的优缺点：优点：（1）考虑了主应力z对屈服和破坏的影响。（2）简单实用，材料参数少，易于试验测定。（3）屈服曲面光滑，没有棱角，利于塑性应变增量方向的确定和数值计算。缺点：（1）没有考虑静水压力对屈服的影响。（2）没有考虑单纯静水压力P对岩土类材料屈服的影响及屈服与破坏的非线性特性。（3）没有考虑岩土类材料在偏平面上拉压强度不同的S-D效应。2．证明：球应力张量与形状应变、偏应力张量与体积应变是否存在耦合作用？应变张量分解为应变偏张量和应变球张量：应力张量在一般坐标系下的分解[]=[]+[]=，+单位张量：=[]应力张量在主轴坐标系下的分解：=[]=[]+[]=，+应变张量分解为应变偏张量和应变球张量：=[]=[]+[]，+式中：=()/3为平均应变：应变偏张量，表示表示变形单元体形状的变化：应变球张量，表示应变单元体体积的变化。弹性应力应变关系广义虎克定律：=[（）]，=[（）]，=[（）]，式中：E—拉压弹性模量；—泊松比；G剪切弹性模量G=1,21,21,2xyxxyzxyyxyzyyzxyzzyzxzzxyzxxzEGEGEG12mmE球应变与应力球张量成正比。即应力球张量使物体产生弹性体积变化。112112112xmxyzmymyzxmzmzxymEEEEEE11,2211,2211,22xxxyyxxyyyyzzyyzzzzxxzzxGGGGGG1''2ijijG偏应变与应力偏张量成正比。即应力偏张量使物体产生形状变化。即证明了应力球张量只能使物体产生体积变化，应力偏张量使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。然而根据相关资料表明，实验室试验时常可以观察到偏应力张量不仅引起剪切变形，而且也会引起体积改变，即是人们常说的“剪胀”；球应力张量不仅引起体积变化，而且也会引起形状改变，也就是人们说的“压斜”。实际上它们之间是存在着耦合作用。从物理上考虑主要原因之一是材料的各项异性。各向异性线弹性体应力应变关系的一般表示式：均匀、连续、没有初应力的各项异性线弹性体在微小变形条件下，可以用广义胡克定律表示如下：A式中111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566aaaaaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaa对于极端各向异性弹性材料，矩阵A中有21个独立的弹性系数ija。这些系数并不是常量，而是与坐标系数有关。球应力张量引起的偏斜应变应力张量的球形分量引起的应变是111213122223132333142434152535162636aaaaaaaaaAaaaaaaaaa把体积变形与剪切变形分开，并令K表示体积变形系数，则有111213122223132333142434152535162636111000aaaKaaaKaaaKKaaaaaaaaa显然，K值应为11223312132312223Kaaaaaa因球应力张量引起的体积变化与坐标系的选择无关，所以，K值是与坐标系的转动无关的常量。将应力张量球形分量引起的偏斜应变记作d，即各向异性线弹性体压斜的表达式为d=111213122223132333142434152535162636aaaKaaaKaaaKaaaaaaaaa从力学上考虑，球应力张量引起的主偏斜应变也与坐标系的转动无关，d=123000其中1、2和3是方程3230JJ的根；2J和3J分别为偏斜应变张量的第二不变量和第三不变量。偏引力张量引起的体积变化应力张量的偏斜分量引起的变形是dA相应的体积应变是dxyz=111213212223()()()()xyaaaaaa313233142434()()()zxyaaaaaa152535162636()()yzzxaaaaaa或者d111213212223313233()()()xzaaaaaaaaa1424341525351626363()()()xyyzzxKaaaaaaaaa在一般情况下，上式不等于零。从该式可以直接看出d与应力偏张量的各个分量均是线性关系。3．求扩散方程显示差分格式以及截断误差及稳定性条件。220uuatx（a0）解：中心差分格式，时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了下式的中心差分格式。11122nnnnnjjjjjuuuuuah从上式我们看到，在新的时间层1n上只包含了一个未知量1nju，它可以由时间层n上的值nju1，nju，nju1直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。假定),(txu是定解问题的充分光滑的解，将1nju，nju1，nju1分别在),(njtx处进行Taylor展开：121(,)(,)()nnjjnjnjuuuxtuxtOt223112(,)(,)()2nnnjjnjnjjuhuuuxtuxthOhxx223112(,)(,)()2nnnjjnjnjjuhuuuxtuxthOhxx将展开式代入到中心差分式中得：11122(,)nnnnnjjjjjjnuuuuuTxtah222()()nnjjuuOaaOhtx222()()nnjjuuaOaOhtx显然，当0，0h时，0),(njtxT，即中心差分格式与定解问题是相容的。由以上的证明也可得知，扩散方程的中心差分格式的截断误差为)(2hO。这就是接下来证明的是差分方程的稳定性问题。下面用Fourier方法来分析中心差分格式的稳定性。令ikjhnnjevu，2ah，代入到中心差分式得1(2)nnikhikhnvveev化简得1(2)nnikhikhnvveev所以该差分格式的增长因子为：(,)1(2)ikhikhGkee=214sin2kh如果初始误差在计算中不会增加的话，则(,)1Gk即12当满足上述条件时扩散方程的中心差分格式是条件稳定的。根据Lax等价定理，我们可以知道，扩散方程的中心差分格式是条件收敛的。