成才之路北师大版数学必修合测试题

综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014，江西文，2)设全集为R，集合A＝{x|x2－90}，B＝{x|－1x≤5}，则A∩(∁RB)＝()A．(－3,0)B．(－3，－1)C．(－3，－1]D．(－3,3)[答案]C[解析]A＝{x|x2－90}＝{x|－3x3}，∁RB＝{x|x≤－1或x5}，∴A∩(∁RB)＝{x|－3x3}∩{x|x≤－1或x5}＝{x|－3x≤－1}，故选C.2．已知集合A＝{x|0log4x1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()A．(0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．(1,2][答案]D[解析]因为A＝{x|0log4x1}＝{x|1x4}，B＝{x|x≤2}．所以A∩B＝{x|1x4}∩{x|x≤2}＝{x|1x≤2}．3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减少的函数是()A．y＝1xB．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|[答案]C[解析]利用偶函数定义及单调性的判断方法求解．A项，y＝1x是奇函数，故不正确；B项，y＝e－x是非奇非偶函数，故不正确；C、D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减少的，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增加的．故选C.4．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝(15)log30.3，则()A．abcB．bacC．acbD．cab[答案]C[解析]∵－log30.3＝log31031且1033.4，∴log3103log33.4log23.4∵log43.61，log31031，∴log43.6log3103.∵y＝5x为增函数，∴5log23.45log31035log43.6即5log23.4(15)log30.35log43.6，即acb.5．(2013·浙江高考)已知x，y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy[答案]D[解析]本题考查指、对运算．2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx·2lgy.6．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为()A．a＝1，b＝0B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝3D．以上答案均不正确[答案]B[解析]对称轴x＝1，当a0时在[2,3]上递增，则f2＝2，f3＝5，解得a＝1，b＝0.当a0时，在[2,3]上递减，则f2＝5，f3＝2，解得a＝－1，b＝3.故选B.7.函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为()A.14B．12C．2D．4[答案]B[解析]∵当a1或0a1时，ax与loga(x＋1)的单调性一致，∴f(x)min＋f(x)max＝a，即1＋loga1＋a＋loga(1＋1)＝a，∴a＝12.8．已知函数f(x)满足：x≥4，f(x)＝12x；当x4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝()A.124B．112C.18D．38[答案]A[解析]f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝123＋log23＝123·12log23＝18×13＝124，选A.9．函数f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析]f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点就是方程(x－1)ln|x|－1＝0的实数根，而该方程等于方程ln|x|＝1x－1，因此函数的零点也就是函数g(x)＝ln|x|的图像与h(x)＝1x－1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．10．若f(x)＝x－2x＋2(x∈R)，且f(x－2x＋2)＝－x2，则x的值为()A．2B．－2C．±2D．0[答案]A[解析]函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x－2x＋2)＝x－2x＋2－2x－2x＋2＋2＝－x－63x＋2＝－x2.∴2(x＋6)＝(3x＋2)x，即x2＝4，∴x＝±2.又x≠－2，∴x＝2.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．(2014·天津文，12)函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．[答案](－∞，0)[解析]函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令u＝x2，则函数u＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又∵y＝lgu是增函数，∴函数f(x)＝lgx2的单调递减区间为(－∞，0)．12．方程9x－6·3x－7＝0的解是________．[答案]x＝log37[解析]原方程可化为(3x)2－6·3x－7＝0，即(3x－7)(3x＋1)＝0，又∵3x＋10，∴3x＝7，则原方程的解是x＝log37.13．若函数y＝m·3x－1－1m·3x－1＋1的定义域为R，则实数m的取值范围是________．[答案][0，＋∞)[解析]要使函数y＝m·3x－1－1m·3x－1＋1的定义域为R，则对于任意实数x，都有m·3x－1＋1≠0，即m≠－13x－1.而13x－10，∴m≥0.故所求m的取值范围是m≥0，即m∈[0，＋∞)．14.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为________时，围出的饲养场的总面积最大．[答案][解析]设矩形的长为x，则宽为1－4x6，饲养场的总面积为y，则有y＝3x·1－4x6＝－2x2＋12x.当x＝18时，y有最大值，此时宽为112，故每个矩形的长宽之比为时，围出的饲养场的总面积最大．15．已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．[答案]－34[解析]首先讨论1－a,1＋a与1的关系．当a0时，1－a1,1＋a1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2.解得a＝－34.当a0时，1－a1,1＋a1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a.f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1，因为f(1－a)＝f(1＋a)所以2－a＝－3a－1，所以a＝－32(舍去)综上，满足条件的a＝－34.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设A＝{2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∩B＝{2}．(1)求a的值及A，B；(2)设全集U＝A∪B，求(∁UA)∪(∁UB)；(3)写出(∁UA)∪(∁UB)的所有子集．[解析](1)∵A∩B＝{2}，∴8＋2a＋2＝0,4＋6＋2a＝0.∴a＝－5.∴A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝{12，2}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5,2}．(2)U＝{12，－5,2}，(∁UA)∪(∁UB)＝{－5}∪{12}＝{－5，12}．(3)(∁UA)∪(∁UB)的子集为：∅，{－5}，{12}，{－5，12}．17．(本小题满分12分)已知：函数f(x)＝ax＋bx＋c(a、b、c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝52，f(2)＝174，(1)求a，b，c的值；(2)试判断函数f(x)在区间(0，12)上的单调性并证明．[解析](1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴－ax－bx＋c＝－ax－bx－c，∴c＝0.∴f(x)＝ax＋bx.又f(1)＝52，f(2)＝174，∴a＋b＝52，2a＋b2＝174.∴a＝2，b＝12.(2)由(1)可知f(x)＝2x＋12x.函数f(x)在区间(0，12)上为减函数．证明如下：任取0x1x212，则f(x1)－f(x2)＝2x1＋12x1－2x2－12x2＝(x1－x2)(2－12x1x2)＝(x1－x2)4x1x2－12x1x2.∵0x1x212，∴x1－x20,2x1x20,4x1x2－10.∴f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0，12)上为减函数．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有唯一零点．(1)求实数a的取值范围；(2)若a＝3217，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．[解析](1)∵函数f(x)在区间(－1,1)上有唯一零点，∴f10，f－10，或f10，f－10，即a2，a1，或a2，a1.∴1a2.(2)若a＝3217，则f(x)＝3217x3－6417x＋2817，∵f(－1)0，f(1)0，f(0)＝28170，∴零点在(0,1)上．又f(0.5)＝0，∴f(x)＝0的根为0.5.19．(本小题满分12分)某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调到x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比例．又当x＝0.65元/度时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)).[解析](1)∵y与x－0.4成反比例，∴设y＝kx－0.4(k≠0)．将x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，解得k＝0.2.∴y＝0.2x－0.4＝15x－2，即y与x之间的函数关系式为y＝15x－2.(x≠25)(2)根据题意，得(1＋15x－2)·(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.解得x1＝0.5，x2＝0.6.经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．∵x的取值范围是0.55～0.75之间，故x＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x＝0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.20．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时的解析式为f(x)＝14x－a2x(a∈R)．(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．[解析](1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，f(－x)＝14－x－a2－x＝4x－a·2x，又∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．(2)∵f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]，令t＝2x，t∈[1,2]．∴g(t)＝at－t2＝－(t－a2)2＋a24.当a2≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；当1a22，即2a4时，g(t)max＝g(a2)＝a24；当a2≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.综上所述，当a≤2时，f(x)最大值为a－1，当2a4时，f(x)最大值为a24，当a≥4时，f(x)最大值为2a－4.21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝log12(x2－mx－m.)(1)若m＝1，求函数f