成都外国语学校高2013级高三第一次月考理科数学试题

成都外国语学校高2013级高三第一次月考试题数学(理科)试题试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；5.考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。第I卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={－1,1}，B={0,2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}的子集的个数为(A)8(B)7(C)3(D)22.下列命题正确的是(A)若a·b=a·c，则b=c(B)a⊥b的充要条件是a·b=0(C)若a与b的夹角是锐角的必要不充分条件是a·b0(D)a//b的充要条件是a=b3.已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面、，有下列命题：①若m∥n，n，则m∥②若l⊥，m⊥，且l∥m，则∥③若m，n，m//，n∥，则∥④若⊥，∩=m，n，n⊥m，则n⊥其中正确命题的个数为(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个4、如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(A)3(B)2(C)3(D)25、如右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A)16(B)24(C)34(D)486如果数列a1，a2a1，a3a2，…，anan－1，…是首项为1，公比－2的等比数列，则a5等于(A)32(B)64(C)－32(D)－647、某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S的值是(A)－3(B)－12(C)13(D)28.曲线C的直角坐标方程为x2+y2－2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)=2sin(B)=cos(C)2=2cos(D)=2cos9.已知f(x)=ax－2，g(x)=loga|x|(a0，a≠1)，若f(4)·g(－4)0，则y=f(x)，y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是10.在三棱锥P－ABC中，若O是底面ABC内部一点，满足OA→+2OB→+4OC→=0，则VP－AOBVP－AOC=(A)32(B)5(C)2(D)5311..设函数f(x)是定义在(0,+)的非负可导的函数，且满足xf’(x)+f(x)≤0，对任意的正数a、b，若ab，则必有(A)af(b)≤bf(a)(B)bf(a)≤af(b)(C)af(a)≤f(b)(D)bf(b)≤f(a)12.已知函数f(x)=ex+x，对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A、B、C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④A-1oxy112B-1oxy112D-1oxy112C-1oxy112级别O5168天数421015第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4题，每小题4，共16分)13.设a、b∈R，a+bi=11－7i1－2i(i为虚数单位)，则a+b==_______.14.已知cos(+)=13，cos(－)=12，则log5(tan·tan)=_________.15.若实数x、y满足2x－y≥0y≥xy≥－x+b，且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为______16.已知定义在[1,+)上的函数f(x)=4－8|x－32|，1≤x≤212f(x2)，x2，给出下列结论：①函数f(x)的值域为[0,4]；②关于x的方程f(x)=(12)n(n∈N*)有2n+4个不相等的实根；③当[2n－1,2n]，n∈N*时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=2；④存在x0∈[1,8]，使得不等式x0f(x0)6成立。其中你认为正确的所有结论的序号为____.三.解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17、(本题满分12分)已知函数f(x)=2cos2x2+cos(x+3)，(其中0)的最小正周期为(Ⅰ)求的值，并求函数f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f(A)=－12，c=3，△ABC的面积为63，求△ABC的外接圆面积。18、(本小题满分12分)空气质量指数PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0~3535~7575~115115~150150~250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2012年8月8日——9月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如下条形图：(I)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(II)在上述30个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优的天数，求X的分布列和数学期望。AA1B1C1BPC19.(本小题满分12分)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长都为a，P为线段A1B上的动点.(Ⅰ)试确定A1P:PB的值，使得PC⊥AB(Ⅱ)若A1P:PB=2:3，求二面角P－AC－B的大小.20.(本小题满分12分)函数f(x)=(x+1)2－ln(x+1)2(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x[1e－1,e－1]时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个零点，求实数a的取值范围。21、(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1,0)，且点(－1,22)在椭圆上.(I)求椭圆C的标准方程；(II)已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得QA→·QB→=－716恒成立?若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。22.己知函数f(x)=log33x1－x，M(x1,y1)、N(x2,y2)是f(x)图像点的两点，横坐标为12的点P是M、N的中点。(1)求证：y1+y2的定值；(2)若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n－1n)(n∈N*，n≥2)，an=16，n=114(Sn+1)(Sn+1+1)，n≥2(n∈N*)，Tn为数列{an}前n项和，若Tnm(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立，试求实数m的取值范围(3)在(2)的条件下，设bn=14(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1，Bn为数列{bn}前n项和，证明：Bn1752数学试题(理科)参考答案：一、选择题：题号123456789101112答案ACBBAADDBCAB二、填空题：13.814.－215.316.①③三、解答题：17.解：(I)f(x)=1+cosx+12cosx－32sinx=1+32cosx－32sinx=1－3sin(x－3)∴T=2==2由2k－2≤2x－3≤2k+2k－12≤x≤k+512∴f(x)的单调递减区间为[k－12,k+512]（kZ）(II)f(A)=1－3sin(2A－3)=－12sin(2A－3)=32在锐角△ABC中，0A2－32A－323∴A=3又S=12bcsinA=32bsin3=334b=63b=8∴a2=b2+c2－2bccosA=64+9－2×8×3cos3=49a=7由asinA=2R△ABC的外接圆半径R=a2sinA=73=733则△ABC的外接圆面积等于49318.【解析】(Ⅰ)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为16天,所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为1630=815(Ⅱ)随机变量X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C222C302=231435，P(X=1)=C81C221C302=176435，P(X=2)=C82C302=28435∴X的分布列为:X012P23143517643528435∴E(X)=0×231435+1×176435+2×28435=23243519.【法一】(Ⅰ)当PC⊥AB时，作P在AB上的射影D.连结CD.则AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD，∴D是AB的中点，又PD//AA1，∴P也是A1B的中点，即A1P:PB=1反之当A1P:PB=1时，取AB的中点D’，连接CD’、PD’.∵△ABC为正三角形，∴CD’⊥AB由于P为A1B的中点时，PD’//A1A∵A1A⊥平面ABC，∴PD’⊥平面ABC，∴PC⊥AB(Ⅱ)当A1P:PB=2:3时，作P在AB上的射影D.则PD⊥底面ABC.作D在AC上的射影E，连结PE，则PE⊥AC∴∠DEP为二面角P－AC－B的平面角.又∵PD//AA1，∴BDDA=BPPA1=32，∴AD=25a.∴DE=AD·sin60=35a，又∵PDAA1=35，∴PD=35a.∴tan∠PED=PDDE=3，∴P－AC－B的大小为∠PED=60【法二】以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示，设P(x,0,z)，则B(a,0,0)、A1(0,0,a)、C(a2,3a2,0).(Ⅰ)由CP→·AB→=0得(x－a2,－3a2,z)·(a,0,0)=0，即(x－a2)·a=0，∴x=12a，即P为A1B的中点，也即A1P:PB=1时，PC⊥AB(Ⅱ)当A1P:PB=2:3时，P点的坐标是(2a5,0,3a5).取m=(3,－3,－2).则m·AP→=(3,－3,－2)·(2a5,0,3a5)=0，m·AC→=(3,－3,－2)·(a2,3a2,0)=0.∴m是平面PAC的一个法向量.又平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1).cosm,n=m·n|m|·|n|=12∴二面角P－AC－B的大小是6020.解析：函数的定义域为(－,－1)∪(1,+)f’(x)=2(1+x)－21+x=2x(x+1)1+x(I)令f’(x)0－2x－1或x0令f’(x)0－1x0或x－2∴f(x)的单调增区间为(－2,－1)和(0,+)；单调减区间(－1,0)和(－,－2)(II)由(I)知，f(x)在[1e－1,0]上单调递减，在[0,e－1]上单调递增又f(1e－1)=1e2+2，f(e－1)=e2－2，且e2－21e2+2∴当x∈[1e－1,e－1]时，f(x)的最大值为e2－2因此可得：f(x)m恒成立时，mf(x)max=e2－2(III)原题可转化为：方程a=(1+x)－ln(1+x)2在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根。令g(x)=(1+x)－ln(1+x)2，则g’(x)=1－21+x令g’(x)=0，解得x=1当x∈(0,1)时，g’(x)0，∴g(x)在(0,1)单调递减当x∈(1,2)时，g’(x)0，∴g(x)在(1,2)单调递增.∵g(x)在x=0和x=2点处连续又∵g(0)=1，g(1)=2－ln4，g(2)=3－ln9且2－ln43－ln91，∴g(x)的最大值是1，g(x)的最小值是2－ln4所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数a的取值范围是：(2－ln4,3－ln9]21.解：(Ⅰ)由题意知：c=1根据椭圆的定义得：2a=(－1－1)2+(22)2+22，即a=2∴b2=2－1=1∴椭圆C的标准方程为