成都理工数学物理方程试卷5

《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（），说明边界上的约束情况的条件叫（），二者统称为（）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（）.3.在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（）.4.边界条件是第（）类边界条件，其中为边界.5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换为（）.6.由贝塞尔函数的递推公式有（）.7.根据勒让德多项式的表达式有=（）.8.计算积分（）.9.勒让德多项式的微分表达式为（）.10.二维拉普拉斯方程的基本解是（）.二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.2.funuS)(S),(txu),(tU22222xuatu)(0xJdxd)(31)(3202xPxPdxxP2112)]([)(1xP30,0,3,000,30,200322222,0xtuxxtxxututtxuuuxtxxutuuuutxx2,0,00,40,040223.三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：六、在半径为1的球内求调和函数，使它在球面上满足，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:(本题的只与有关，与无关)20,0,8,00,20,162002022222xtutxxututtxxuuu0,2sin0,,cos0022222tttuxutxxxuatu,1,10,0,1002yxuyuyxyxu)(1)()('0''02xJxxJxJu21cosru.0,12cos3,0,10,0)(sinsin1)(11222rururrurrru,r《数学物理方程》模拟试题参考答案一、填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2.3..4.三.5..6..7..8..9..10..二、试用分离变量法求以下定解问题1.解令，代入原方程中得到两个常微分方程：，，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到为特征值，特征函数，再解，得到，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为2.解令，代入原方程中得到两个常微分方程：，，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到为特征值，特征函数，再解，得到，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为3.解由于边界条件和自由项均与t无关，令，代入原方程中，将方程与边界条件同)(2222222zuyuxuatu01)(1222uuUadtUd2222)(1xJ2x52)1(212xdxd2020)()(1lnyyxxu)()(),(tTxXtxu0)()(2''tTatT0)()(''xXxX0)3()0(XX0222223n3sin)(nBxXnn)(tT32sin32cos)(;;tnDtnCtTnnn,3sin)32sin32cos(),(1xntnDtnCtxunnn0,)1(183sin332130nnnDnxdxnxC,3sin)32cos)1(18(),(11xntnntxunn)()(),(tTxXtxu0)()('tTtT0)()(''xXxX0)4()0(XX0222224n4sin)(nBxXnn)(tT16;22)(tnnneCtT,4sin(),(16122xneCtxutnnn140)1(164sin242nnnxdxnxC,4sin)1(16),(161122xnentxutnnn)(),(),(xwtxvtxu时齐次化。因此，再由边界条件有，于是，.再求定解问题用分离变量法求以上定解问题的解为故三.解令，代入原方程中，将方程齐次化，因此，再求定解问题由达朗贝尔公式得到以上问题的解为故四.解对y取拉普拉斯变换，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到，解这个微分方程得到，再取拉普拉斯逆变换有所以原问题的解为.五.证明由公式有，令有，所以，又，所以.212''''22222)(16)(416)]([4cxcxxwxwxwxvtv8)2(,0)0(ww0,821ccxxxw82)(220,0),(,000,20,200322222,0xtvxwxtxxvtvttxvvv,2sincos])1)1[(32)1(16(),(331xntnnntxvnnn,2sincos])1)1[(32)1(16(28),(3312xntnnnxxtxunnn)(),(),(xwtxvtxuxaxwxxwaxxwxvatvcos1)(0cos)(cos)]([2''2''22222,0),(cos12sin0,02022222tttvxxwaxtxvatvvatxaatxatxaatxataaatxtxvcoscos1cossin0)]cos(1)(2sin)cos(1)(2[sin21),(222.cos1coscos1cossin),(22xaatxaatxtxu),()],([pxUyxuLppUpdxdUpx11,120ppxppxU111),(221),(yyxyxu1),(yyxyxu)())((1xJxxJxdxdnnnn)()()(1'xJxxnJxxJnnn1n)()()(211'xxJxJxxJ)(1)()(11'2xJxxJxJ)()(),()(1'0''10'xJxJxJxJ)(1)()(0'0''2xJxxJxJ六．解由分离变量法，令，得到，由边界条件有，令，，，，故)()(),(rRru0)(cos),(nnnnPrCru01)(cos12cos3nnnrPCuxcos)()()(261)12(322110022xPcxPcxPcxx)13(212622102xcxccx4,0,0210ccc222222cos6)1cos3(214),(rrrru