工力06-1章弯曲变形.

对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件进行设计时，需满足强度要求+刚度要求。为此，必须分析和计算梁的变形。某些机械零件或部件，则要求有较大的变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例。这种情形下也需要研究变形。此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方程。本章将在上一章得到的曲率公式的基础上，建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形的叠加法。在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线（deflectioncurve）。梁的曲率与位移梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection)；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope)；横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移（horizontaldisplacement）。在小变形情形下，上述位移中，水平位移与挠度相比为高阶小量，故通常不予考虑。梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：y—与y轴同向为正1.挠度:梁轴线的竖向位移)(1xfy-----挠曲线方程AyxBCC`PB`y§6-2挠曲线的微分方程2.转角:截面绕中性轴的转角)(2xf-----转角位移方程—逆时针转为正3.y与的关系:tg=y’∵tg(小变形)CBAxyyB’C’θθP∴=y’4.梁的挠曲线近似微分方程(任一截面x点的弯矩和曲率的关系)2/32,,,)1()(1yyx上任一点的曲率))((1xfyzEIxMx)()(1----（1）力学中的曲率公式数学中的曲率公式1,2yQ（小变形,曲线弯曲平缓）,,)(1yx——(2)(2)代入(1)zEIxMy)(——(3)+1,2y1zEIxMx)()(1----（1）2/32,,,)1()(1yyxzEIxMy)(——(3)（近似挠曲线微分方程）近似性：①略去剪力的影响②略去了项2,y可知：M与符号相同y•符号规定MMM0y’’0yxzM(x)y=EIM0y’’0MMyx（近似挠曲线微分方程）当梁内弯矩分段、材料不同、截面不同，梁的近似挠曲线微分方程必须分段表示。积分法一般步骤为：1,2,...,kn,,kkEIy=M(x)§6-3用积分法求弯曲变形zM(x)y=EI（近似挠曲线微分方程）一次积分得(转角方程)：,zzkkkkEIy=EIθ=M(x)dx+C再次积分得(挠度方程)：zkkkkEIy=(M(x)dx)dx+Cx+D其中：C(k),D(k)为积分常数，如梁的近似挠曲线微分方程分n段，则共有2n个积分常数，需要用积分定解条件确定。§6-3用积分法求弯曲变形1,2,...,kn,,kkEIy=M(x)1、边界条件积分定解条件待定积分常数由梁的边界条件与连续条件确定。边界条件是指约束对于挠度和转角限制：,zzkkkkEIy=EIθ=M(x)dx+CzkkkkEIy=(M(x)dx)dx+Cx+D2、连续条件：在分段的交界处，由于连续性，两段方程在一截面的挠度和转角相等。AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~0Ay0Ay0AAy位移边界条件光滑连续条件ARALyyARALARALyy－弹簧变形例1：悬臂梁zyyxx•边界条件0)0(,0)0(,yyRARBlabPACB例2：简支梁•边界条件12y(0)=0,y(l)=0在分段的交界处，由于连续性，两段方程在一截面的挠度和转角相等。RARBlabPACB•连续条件,,1212y(a)=y(a),y(a)=y(a)例4：简支梁例3：具有弹簧约束的简支梁，设弹簧刚度为k•边界条件1B2y(0)=0,Ry(l)=-kRARBlabPACB例4：具有中间铰链约束的悬臂—简支梁•边界条件qabACB,112y(0)=0,y(0)=0,y(a+b)=0•连续条件12y(a)=y(a)例题5：计算图示悬臂梁的最大转角和挠度。已知梁的抗弯刚度为EIz。解：（1）建立梁的弯矩方程zyyxx2M(x)=-q(l-x)/2,3zEIy=q(l-x)/6+C一次积分：（2)建立梁的近似挠曲线微分方程并积分,,2zEIy=M(x)=-q(l-x)/2二次积分得：222z-qxy=(6l-4lx+x)+D24EI（3)利用约束条件确定积分常数边界条件0)0(,0)0(,yyzyyxx0)0(,y将代入3/6Cql,3zEIy=q(l-x)/6+C62l2,)3(z3xlxEI-qxy(a)得0)0(y将代入0D∴222z-qxy=(6l-4lx+x)24EI(b)222z-qxy=(6l-4lx+x)+D24EI得（4)确定挠度与转角方程（5）确定最大挠度与最大转角把x=l代入(a)(b)得：3,Cz-qlθ=y(l)=6EI4Cz-qlw=y(l)=8EI62l2,)3(z3xlxEI-qxy(a)∴222z-qxy=(6l-4lx+x)24EI(b)例6求梁的转角方程和挠度方程，梁的EI已知，l=a+b，ab。解1）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx,,02）弯矩方程axxlFbxFxMAy11110,AC段：lxaaxFxlFbaxFxFxMAy222222),()(CB段：maxyab1x2xACDFxAyFByFAyB3）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxydEI1211112)(CxlFbxEIdxdyEI1113116DxCxlFbEIyAC段：ax10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIyCB段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAyB4）由边界条件确定积分常数0)(,22lylx0)0(,011yx代入求解，得位移边界条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx)()(,2121ayayaxxlFbFblCC661321021DDmaxyab1x2xACDFxAyFByFAyB5）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI12231)(661xbllFbxlFbEIyAC段：ax10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIyCB段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAyB小结：yxPABy挠曲线，y=y(x)弯曲变形截面形心的竖向位移y挠度转角截面绕中性轴转过的角度)(xydxdytg1、梁变形的特征EIy(x)=M(x)公式应用的条件:1)材料服从虎克定律；2)小变形，忽略剪力对挠度的影响；小结：2、挠曲线近似微分方程作业6-1，6-4(a,b)