工力06-2章弯曲变形.

在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表得到在很多复杂情形下梁的位移。§6-4用叠加法求弯曲变形梁的挠度与转角公式悬臂梁梁的挠度与转角公式简支梁1梁的挠度与转角公式简支梁2梁的挠度与转角公式外伸梁当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形;叠加法应用于多个载荷作用的情形由挠度表查得这些情形下的挠度和转角;再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。已知：简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B。例题1321CCCC解：1.将梁上的载荷变为三种简单的情形。123BBBB解：2.由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和B截面的转角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,,,,,EIqlEIqlEIqlBBB33323131161241解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811已知：悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC和转角C。例题2组合方法一：增减载荷法lqBABBy48BZqlyEI36BZqlEI解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形lqBABBy48BZqlyEI36BZqlEI解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形lqBABBy48BZqlyEI36BZqlEI解：2．计算各个简单载荷引起的挠度和转角lqBABBy48BZqlyEI36BZqlEI解：2．计算各个简单载荷引起的挠度和转角BBw2/l2/lqCB解：3．将简单载荷作用的结果叠加,EIqlwwiCiC42138441＝EIqliCiC321487将杆件系统分解为n段，分n次变形。假设每次只有一段变形，其它段均作为刚性处理，然后进行叠加，求得变形量。组合方法二：逐段刚化法qaaABC1By1CyBaaACBPBm1B2CyCaaAB=+例题3求图示悬臂梁的yc先假设BC段刚性，只有AB段变形ayyBBC111)(127234231ZZBZBBEIqaEIamEIaPy)(12194111ZBBCEIqaayy)(23221ZZBZBBEIqaEIamEIaP1By1CyBaaACBPBm1B牵带位移再考虑BC段的变形(AB段刚性))(842ZCEIqay2CyCaaAB先假设BC段刚性，只有AB段变形ayyBBC111)(127234231ZZBZBBEIqaEIamEIaPy)(12194111ZBBCEIqaayy)(23221ZZBZBBEIqaEIamEIaP再考虑BC段的变形(AB段刚性))(842ZCEIqay)(2441421ZCCCEIqayyyqaaABC1By1CyBaaACBPBm1B2CyCaaAB=+牵带位移))(6(62xaxEIqdxdyZC)(244142ZaaCCEIqadyy组合方法三：等价积分法积分qaaABCqaaCxqdxdx例4求图示悬臂梁的yc先取微分长度，形成微集中力dP=qdx，代换后知：lBABy236BZPaylaEIPa例5求图示简支梁的yC4l4l4l4lPABCEI2EIACCAyyy,0解：PABCCy2P2P组合方法四：等价悬臂梁法(仅适合简支梁受到对称荷载)由于对称：梁在C点的转角为0，可以视为一悬臂梁在C点固定，在A点受集中力作用。A点所产生的位移恰好与C点的位移数值相同。2PA注意：一般已经给出悬臂梁法受集中力(力偶)作用所产生的位移和转角，即：3BPay=()3EI2BPa=()2EIBaAP=+2BMay=()2EIBMa=()EIBaAM2PAaaABABP=+组合方法五：利用对称性(仅适合求简支梁中点位移)从数学知识，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称矩阵之和的形式:[F]=[F]symm+[F]antisymm,对于轴对称的结构,力也可以同样分解.例如P/2P/2P/2P/2组合方法五：利用对称性(仅适合求简支梁中点位移)例6：已知悬臂梁受集中力作用所产生的端部位移和转角。求图示梁在中点的挠度，fc=+ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。显然，在反对称力(P/2)作用下，fc（反对称）=0+=ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C在对称力(P/2)作用下，fc（对称）=fc+=ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C采用等价悬臂梁法ABP/2P/2=B2/aC2PD2/a2P在对称力(P/2)作用下，fc（对称）=fcB2/aC2PD2/a2P32222232333332231639611119696aaPPBPCBafEIEIaPaEIEIPaffPaEIEI挠度转角挠度3BPay=()3EI2BPa=()2EIBaAP对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度。§6-5梁的刚度校核刚度设计举例对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则(criterionforstiffnessdesign)：上述二式中y和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。maxyymax已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角θ=0.5°。试：根据刚度要求确定该轴的直径d。B解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。1．查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为BEIlaFB3P＝－1．查表确定B处的转角BEIlaFB3P＝－2．根据刚度设计准则Bθ=0.5°考虑单位的一致性111mmm10111m100.5206π3101802120643-493d作业用叠加法求弯曲变形6-9，6-10(a,c)§6-6简单的静不定梁解静不定梁基本步骤：2、根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程3、建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程1、选定并解除多余约束，代之以多余约束反力，建立平衡方程。4、将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。5、联立求解平衡方程、补充方程。解得多余约束反力应用小变形概念可以推知某些未知量由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端B处水平位移u=0。既然u=0，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即FAx＝FBx=0。因此，求解这种静不定问题只需1个补充方程。FBxBlAMAFAyFAxFBy例题求:梁的约束力。已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI，长度为l。BAl解：1.列出平衡方程FAy+FBy-ql=0MA+FByl-ql/2=0BlAMAFAyFB3.列出物性关系wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIwB(q)wB(FBy)BlAMAFAylBAMAFAyFB2.列出变形协调方程wB=wB(q)+wB(FBy)=0BlAMAFAyFAxFB解：4.综合求解FAy+FBy-ql=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0将平衡方程、变形协调方程和物性关系联立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIFBy=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy=5ql/8,BlAMAFAyFAxFBzEIXMf)(挠曲线近似微分方程：稳定性：与内力截面性质和材料有关。§6-6提高弯曲刚度的一些措施一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著«营造法式»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为刚度最大。时强度最大时,3;,2bhbhRbh同样面积下应使抗弯刚度最大〉〉〉〉〉二、采用变截面梁最好是等强度梁，即][)()()(maxxWxMx若为等强度矩形截面，则高为：][)(6)(bxMxh同时][)(5.1maxxbhQ][5.1)(bQxhPx在工程应用中则广泛采用变截面梁，如：在机械工厂中，行车多采用鱼腹梁形状。对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面三、根据材料特性选择截面EIPLy3max021.0EIPLy3max014.0EIPLy3max0073.0四、合理布置外力（包括支座），使Mmax尽可能小PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5对称MxqL2/10EIqLy4max013.0EIqLy43max107875.0EIqLy43max10326.0Mx82qLqLL/5qL/5402qL502qLMxqL/2L/2x322qLM512/92qL五、选用高强度材料，提高许用应力值同类材料，如钢材“E”值相差不多，“s”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。zEIXMf)(不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！作业6-17(a),6-20