工科数学分析作业

1工科数学分析作业软件学院张骁雄1416班2014921022工科数学分析作业第一道题一、题目：（两个重要极限）计算下列函数的函数值并画出图形，观察两个重要极限值。1、y=f(x)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2、y=f(x)=(1+𝑥)1𝑥二、算法及程序对函数f(x)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥利用MATLAB作图如下：对函数f(x)=(1+𝑥)1𝑥利用MATLAB作图如下：三、结果函数f(x)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥在x=0时的极限为limf(x)=1-100-80-60-40-20020406080100-0.4-0.200.20.40.60.810123456789101.41.61.822.22.42.62.83函数f(x)=(1+𝑥)1𝑥在x=0处的极限为limf(x)=e。由所学知识知在x=0处lim𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥=1，𝑙𝑖𝑚(1+𝑥)1𝑥=𝑒，两种方法所得结果相吻合。四、分析作出f(x)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥的图像，观测图形在x=0附近的形状。在区间[-100,100]绘图的代码为：x=-100:0.00001:100;y=sin(x)./x;plot(x,y)set(gcf,'color',get(gca,'color'))作出f(x)=(1+𝑥)1𝑥的图像，观测图形在x=0附近的形状。在区间[0.001,10]绘图的代码为：x=0.001:0.000001:10;y1=(1+x).^(1./x);plot(x,y1);set(gcf,'color',get(gca,'color'))第二道题一、问题：路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时(1)两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？(2)如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？(3)如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？二、建立模型根据题意，建立模型如图P1=2kwP2=3kwS=20m4照度计算公式I=k𝑝𝑠𝑖𝑛𝑎𝑟2（k为照度系数，可取为1；p为路灯的功率）三、解决方案（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q点的照度分别为𝐼1=𝑘𝑝1sin𝛼1𝑅1𝐼2=𝑘𝑝2sin𝛼2𝑅2𝑅12=ℎ12+𝑥2𝑅22=ℎ22+（𝑠−𝑥）2𝑠𝑖𝑛𝛼1=ℎ1𝑅1𝑠𝑖𝑛𝛼2=ℎ2𝑅2要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点I(x)=𝑃1ℎ1√(ℎ12+𝑥2)3+𝑃2ℎ2√(ℎ22+(𝑠−𝑥)2)3=10√(25+𝑥2)3+18(36+(20−𝑥)2)3I(x)=−3𝑃1ℎ1𝑥√(ℎ12+𝑥2)5+3𝑃2ℎ2(𝑠−𝑥)√(ℎ22+(𝑠−𝑥)2)5=−30𝑥√(25+𝑥2)5+54(20−𝑥)(36+(20−𝑥)2)5利用MATLAB求得I(x)=0时x的值代码：s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))');s1=vpa(s,8);s1运行结果：s1=19.976695819.3382991368.538304309-11.61579012*i.2848997038e-18.538304309+11.61579012*i因为x=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表：x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468综上，x=9.33m时，为最暗点；x=19.97m时，为最亮点。（2）路灯2的高度可以变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数：𝐼(x)=𝑃1ℎ1√(ℎ12+𝑥2)3+𝑃2ℎ2√(ℎ22+(𝑠−𝑥)2)3=10√(25+𝑥2)3+3ℎ2(ℎ22+(20−𝑥)2)3与（1）同理，求出函数I(x,h2）的极值即为最暗点和最亮点5∂I∂ℎ2=𝑃2√(ℎ12+(𝑠−𝑥)2)3−3𝑃2ℎ22√(ℎ22+(𝑠−𝑥)2)5=0利用matlab求得x：solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')ans=20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h即x1=20+2^(1/2)*h（舍去）x2=20-2^(1/2)*h∂I∂x=−3𝑝1ℎ1√(ℎ12+𝑥2)5+3𝑃2ℎ2√(ℎ22+(𝑠−𝑥)2)5=−30(20−√2ℎ)√(25+𝑥2)5+9ℎ2(20−𝑥)√(ℎ22+(20−𝑥)2)5=0利用matlab求解h2solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')ans=7.422392889676861255710450993296514.120774098526835657369742179215因为h在3~9之间，所以h2=7.42239m再利用matlab求解x和亮度I算法：h=7.42239;x=20-2^(1/2)*hI=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))结果：x=9.5032I=0.0186综上，x=9.5032，h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为0.0186w。(3)两盏路灯的高度均可以变化时，I为关于x,h1,h2的三元函数，用同样的方法求解I(x,ℎ1,ℎ2)=𝑝1ℎ1√(ℎ12+𝑥2)3+𝑃2ℎ2√(ℎ22+(𝑠−𝑥)2)30)(3)(5221211322111xhhPxhPhI0))20((9))20((3))((3))((52222232225222222322222xhhxhxshhPxshPhI0))20(()20(9)(6))(()(3)(35222252211522222522111xhxhxhxhxshxshPxhxhPxI得出：6ℎ1=1√2𝑥ℎ2=1√2(20−𝑥)3ℎ2(20−𝑥)[ℎ22+(20−𝑥)2]52=2ℎ1𝑥[ℎ22+𝑥2]52进一步得：2522225222)21(22])20()20(21[()20(23xxxxxx=3332)20(1xx利用matlab求解x，h1，h2的值：算法：solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');s1=vpa(s,6);a=(1/sqrt(2))*s1;a1=double(a);b=(1/sqrt(2))*(20-s1);b1=double(b);a1,b1,s1结果：a1=6.59405.1883+12.0274i5.1883-12.0274ib1=7.54828.9538-12.0274i8.9538+12.0274is1=9.325307.33738+17.0093*i7.33738-17.0093*i综上，h1=6.5940，h2=7.5482，x=9.32530时，最暗点的亮度最大。