工程制图第二章投影理论基础

§2-1投影法的基本知识§2-2平面立体的构形及投影表示§2-3回转立体的构形及投影表示第二章投影理论基础顶点棱面母线轴线棱线图2-1基本体与几何要素底面§2-1投影法的基本知识五、平面的投影二、投影与制图一、投影法三、点的投影四、直线的投影一、投影法(一)投影法的概念(二)投影法的分类1.中心投影法2.平行投影法（1）斜投影法（2）正投影法(三）正投影的特性1.从属性2.平行性3.定比性（1）（2）4.积聚性5.保真性6.类似性投影中心投影面投影线空间点投影图2-2投影法的概念SBAba图2-3中心投影法abcdABCDS斜投影法正投影法图2-4平行投影法ABCDABCDcabdabcd图2-5从属性ⅠⅡ图2-6平行性图2-7积聚性图2-8保真性图2-9类似性二、投影与制图(一)概述1.物体的单面视图2.物体的三视图（1）建立三面投影体系（2）形成物体的三视图（3）展开投影体系（4）三视图的规范形式(二)三视图的投影特点[例2-1]物体三视图的画法图2-10物体的单面视图影投方向结论:利用单面视图无法确定物体的空间形状VHW图2-11(a)建立三面投影体系V面:正立投影面H面:水平投影面W面:侧立投影面图2-11(b)形成物体的三视图VHWVHW图2-11(c)展开投影体系注:投影面无限大,应删除其边线图2-11(d)物体的三视图下左右前后上上下后前左右宽高长宽图2-11(e)三视图的投影规律图2-12物体三视图的画法三、点的投影(一)点的三面投影的形成(二）点的投影分析(三）由点的二投影求第三投影.[例2-2]“二求三”的方法(四）空间点的重建方法(五）相对坐标.相对坐标的定义.[例2-3]利用相对坐标作图(六）无轴投影.无轴投影的定义.无轴投影作图Aa′a″aaxayazVHWOXYZXa′a″aOaxayazZayYHYWHWxyz(a)(b)图2-13点的三面投影的形成(二)点的投影分析1.点的投影与坐标的关系设空间点A的坐标为（x,y,z),则有：a(x,y)a′(x,z)a″(y,z)2.点的投影规律a′a″⊥OZaa′⊥OXaax＝aza″(三)由点的二投影求第三投影1.点的三投影之间的坐标关系a′(x,z)a″(y,z)a(x,y)2.“二求三”方法(1)坐标法(2)45°辅助线法OO(a)坐标法(b)45°辅助线法图2-14“二求三”的方法图2-15空间点的重建法(a)坐标法(b)逆投影线法已知点A的坐标或投影，在大脑中进行……O图2-16相对坐标定义△x△xz△z△y△△yO前前下左图2-17利用相对坐标作图已知点A的投影，且知点B在A的左方10、下方15及前方12，试作出点B的投影。图2-18无轴投影从图2-17的作图过程中可以发现，在使用相对坐标作图时，投影轴（图中以双点画线示出）实质上并未起作用，若将其删除，即成无轴投影：试求出A、B、C各点的第三投影。图2-19无轴投影作图四、直线的投影（一）直线投影的确定一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影。（二）直线的分类及其投影特性一般位置直线直线投影面的平行线投影面的垂直线正平线正垂线投影面的平行线水平线投影面的垂直线铅垂线侧平线侧垂线特殊位置直线OO图2-20（a)直线投影的确定图2-20(b)直线投影实例想一想AB的投影在……?表2-1投影面平行线的投影特性实例投影图名称水平线正平线侧平线特性①②③OX为斜线=∥∥①②③为斜线=∥OX∥①②③为斜线=∥∥OYOZOYOZwH表2-2投影面垂直线的投影特性特性图实例投影名称铅垂线正垂线侧垂线①②③①③②①③②⊥OX=⊥=一个点一个点⊥OZ=⊥OX=一个点积聚为积聚为积聚为⊥=⊥OZ=OYOYH五、平面的投影（一）平面的表示法在立体几何中，确定平面的方式有五种：①不在一直线上的三点；②直线及线外一点；③相交两直线；④平行两直线；⑤任意的平面图形。在投影理论中，只需将上述诸方式简单地转换成投影方式，即可实现平面的投影表示。（二）平面的分类及其投影特性一般位置平面平面投影面的垂直面投影面的平行面正垂面正平面投影面的垂直面铅垂面投影面的平行面水平面侧垂面侧垂面特殊位置直线OOOOO图2-21平面的投影表示OS图2-22一般位置平面的投影表2-3投影面垂直面的投影特性②①投影图及①②①②及及具有积聚性，且为一斜线。具有积聚性，且为一斜线。具有积聚性，且为一斜线。为缩小的类似形为缩小的类似形的类似形为缩小名称实例铅垂正垂侧垂面面面特性表2-4投影面平行面的投影特性投名称⊥特性OY影图实OX例水平正平侧平面面面①②③①②③①②③具有积聚性，且具有积聚性，且⊥OY具有积聚性，且⊥OZ具有积聚性，且⊥OZ具有积聚性，且⊥具有积聚性，且⊥OX具有保真性具有保真性具有保真性§2-2平面立体的构形及投影表示二、平面立体的构形(转AutoCAD)一、AutoCAD2000的空间设计环境(转AutoCAD)三、平面立体的投影四、平面立体的投影分析三、平面立体的投影平面立体的投影实质是关于其表面上点、线、面投影的集合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的棱边，其投影以粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图中，当多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。(一)棱柱的投影棱柱具有这样的投影特点：一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形或复合矩形。绘图步骤：１.画投影图的对称线和中心线（如果有的话）。２.画底面的各投影。３.添加棱线的各投影。(二)棱锥的投影棱锥具有这样的投影特点：一个投影为复合多边形，而其余两投影则为三角形或复合三角形。绘图步骤：１.画投影图的对称线及中心线。２.画锥底的各投影。３.作锥顶的各投影。４.添加各棱线的投影。（a）投影特点（b）绘图过程图2-23棱柱的投影图（a）投影特点（b）绘图过程图2-24棱锥的投影图四、平面立体的投影分析无论在空间还是在投影图中，立体与其表面的几何要素的关系都是非常密切的，尤其对平面立体更是如此。探讨几何要素的投影是为了更好地解决立体的投影问题。以下将讨论几何要素间的相对投影特性。(一)直线上的点若K∈AB,则有：1.从属性k∈ab,k′∈a′b′,k″∈a″b″2.定比性ak:kb=a′k′:k′b′=a″k″:k″b″=AK:KB[例2-5]判断点K与直线的相对位置。（二）两直线的相对位置（三）平面上的点和直线（四）直线与平面的相对位置（五）两平面的相对位置（a）（b）图2-25直线上点的投影图2-26判断点是否属于直线结论：点K不属于AB直线(二）两直线的相对位置两直线的基本位置关系有平行、相交、交叉（异面），而垂直则是内含于基本关系中的一种特殊情况。1.两直线平行平行两直线的同面投影均相互平行。2.两直线相交相交两直线的同面投影均相交，且其投影的交点必满足点的投影规律。3.两直线交叉交叉两直线既不满足平行两直线的投影规律，也不满足相交两直线的规律。[例2-6]判断两直线AB和CD的相对位置。[例2-7]判断两直线ⅠⅡ和ⅢⅣ的相对位置。4.两直线垂直直角投影定理：若两直线垂直且其一直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍然垂直。（证明略）O图2-27平行两直线O图2-28相交两直线OⅠⅡ1(2)图2-29交叉两直线O图2-30判断两直线的相对位置Ⅰ结论：两直线交叉O结论：两直线交叉图2-31判断两直线的相对位置ⅡO图2-32一边为水平线的直角的投影(三）平面上的直线和点1.平面上的直线直线属于平面应满足下列条件之一：（1）过平面上的两点。（2）过平面内一点且平行于平面内一直线。2.平面上的点若点属于平面内一直线，则该点属于该平面。[例2-8]平面内点线的作图及判断问题。图2-33平面上的直线和点OO图2-34平面上的点、线的作图及判断已知直线MN属于平面ABC，求MN的正面投影m′n′；判断点K是否属于平面ABC。KAB∈(四）直线与平面的相对位置直线与平面间的基本位置关系有平行和相交，而垂直又是相交的特殊情况。1.直线与平面平行直线平行于平面的几何条件为：直线平行于平面内一直线。如果直线与投影面的垂直面平行，那么，在相应的投影面上，两者的投影也平行。2.直线与平面相交核心问题为求交点。3.直线与平面垂直直线垂直于平面的几何条件为：直线同时垂直于平面内相交两直线。如果直线与投影面的垂直面垂直，那么，在相应的投影面上，两者的投影也垂直；而在其它投影面上，该直线的投影应平行于相关的投影轴。O图2-35直线与平面平行O图2-36直线与平面相交O图2-37直线与平面垂直(五）两平面的相对位置两平面间的基本位置关系有平行及相交，而垂直则是相交关系的特殊情况。1.两平面平行两平面平行的几何条件为：一平面上的相交两直线分别平行于另一平面上的相交两直线。如果两平行平面垂直于某一投影面，则它们在该投影面上的积聚投影也平行。2.两平面相交核心问题为求交线。3.两平面垂直两平面垂直的几何条件为：一平面过另一平面的垂线。如果两平面垂直且同时垂直于某投影面，那么，它们在该投影面上的积聚投影也垂直。OⅠⅡⅢ图2-38两平面平行O图2-39两平面相交O图2-40两平面垂直§2-3回转立体的构形及投影表示二、圆柱的构形命令及投影一、概述三、圆锥的构形命令及投影四、圆球的构形命令及投影一、概述（一）回转体（面）的形成（二）有关术语（三）回转体的构形方法（转AutoCAD）（四）回转面的构形方法（转AutoCAD)（一）回转体（面）的形成OO顶圆素线赤道圆喉圆纬圆底圆母线轴线图2-41回转面的术语二、圆柱的构形命令及投影（一）圆柱的形成（二）圆柱的构形命令（转AutoCAD）（三）投影分析一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对某投影面的转向轮廓线，只能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。（四）投影绘制一般应先画出相关的对称轴线及圆的中心线，然后绘制圆投影，最后再绘制其它投影。（五）表面上定点（一）圆柱的形成ⅠⅡ图2-42圆柱的投影图2-43在圆柱表面上定点已知圆柱表面上的点M及N正面投影m′和n′，求它们的其余两投影。三、圆锥的构形命令及投影（一）圆锥的形成（二）圆锥的构形命令（转AutoCAD）（三）投影分析一个投影为圆，其余二投影均为等腰三角形。（四）投影绘制一般应先画出相关的对称轴线及圆的中心线，然后绘制圆投影，最后再绘制其它投影。（五）表面上定点1.纬圆法2.素线法（二）圆锥的形成ⅡⅠ图2-44圆锥的投影mmmnn()n()已知圆锥表面上点M及N的正面投影m′和n′，求它们的其余两投影。图2-45在圆锥表面上定点四、圆球的构形命令及投影（一）圆球的形成（二）圆球的构形命令（转AutoCAD）（三）投影分析三投影均为圆，且直径等于球的直径。（四）投影绘制一般应先画出相关的中心线，然后绘制圆投影。（五）表面上定点方法：纬圆法（三）圆球的形成23ⅠⅡⅢ312231231112323′′′图2-46圆球的投影(m)mm图2-47在圆球表面上定点已知圆球表面上点M的正面投影m′，求它的其余两投影。本章结束