工程力学(下)电子教案第九章

机械学院1教案第九章压杆稳定第一节压杆稳定的概念第二节两端铰支细长压杆的临界压力第三节其他支座条件下细长压杆的临界压力教学时数：2学时教学目标：1、解受压杆件的失稳，可导致整个机器或结构的损坏。2、通过对本章的学习，理解平衡、不平衡的稳定性与压杆失稳的概念，理解并能熟练地应用细长压杆的临界载荷－欧拉公式、超过比例极限时压杆的临界力—经验公式，临界应力总图。掌握压杆稳定性设计的步骤、提高压杆稳定性的措施。教学重点：1、压杆稳定的基本概念；2、细长压杆临界荷载的欧拉公式及其应用。重点讲解中心受压直杆失稳概念、实际压杆与中心受压直杆的区别、强度破坏与失稳破坏的区别。重点：压杆稳定的概念；欧拉公式。教学难点：欧拉公式的推导。教学方法：板书＋PowerPoint,采用启发式教学和问题式教学法结合，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题，激发学生的学习热情。教具：教学步骤：（复习提问）（引入新课）（讲授新课）§9-1压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图1a），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图1b）；受均匀压力的薄圆环，图1机械学院2教案当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图1c）。上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。“稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。例如，图2a所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原来的平衡位置。图2b所示处于凸面的球体，当球受到微小干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡是不稳定的。受压直杆同样存在类似的平衡性质问题。例如，图3a所示下端固定、上端自由的中心受压直杆，当压力P小于某一临界值crP时，杆件的直线平衡形式是稳定的。此时，杆件若受到某种微小干扰，它将偏离直线平衡位置，产生微弯（3b）；当干扰撤除后，杆件又回到原来的直线平衡位置（图3c）。但当压力P超过临界值crP时，撤除干扰后，杆件不再回到直线平衡位置，而在弯曲形式下保持平衡（图3d），这表明原有的直线平衡形式是不稳定的。使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用crP表示。为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力作为其极限承载能力。可见，临界力的确定是非常重要的。本章主要讨论中心受压直杆的稳定问题。研究确定压杆临界力的方法，压杆的稳定计算和提高压杆承载能力的措施。§9.2两端铰支细长压杆的临界压力根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度EI，杆件长度l和两端的约束情况，都会影响压杆的临界力。确定临界力的方法有静力法、能量法等。本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。两端铰支中心受压的直杆如图4a所示。设压杆处于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图b所示。建立xw坐标系，任意截面（x）处的内力（图4c）为图2图3图1ww图4机械学院3教案),(压力PFNPwM在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程EIMdxwd22，得到wEIPdxwd22令EIPk2，得微分方程0222wkdxwd（a）此方程的通解为kxBkxAwcossin利用杆端的约束条件，0,0wx，得0B，可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：kxAwsin（b）利用约束条件，0,vlx，得0sinklA这有两种可能：一是0A，即压杆没有弯曲变形，这与一开始的假设（压杆处于微弯平衡形式）不符；二是nklπ，n１、２、３……。由此得出相应于临界状态的临界力表达式222lEInPcr实际工程中有意义的是最小的临界力值，即1n时的crP值：22lEIPcr（9.1）此即计算压杆临界力的表达式，又称为欧拉公式。因此，相应的crP也称为欧拉临界力。此式表明，crP与抗弯刚度（EI）成正比，与杆长的平方（2l）成反比。压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。因此，对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束），式（9.1）中的I应为截面最小的形心主轴惯性矩。将lk代入式（b）得压杆的挠度方程为lxAwsin（c）在2lx处，有最大挠度Awmax。在上述分析中，maxw的值不能确定，其与P的关系曲线如图5中的水平线'AA所示，这是由于采用挠曲线近似微分方程求解造成的；如采用挠曲线的精图5机械学院4教案确微分方程，则得maxvP曲线如图5中ＡＣ所示。这种maxvP曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压杆的稳定性及失稳后的特性。可以看出，当PcrP时，压杆只有一条平衡路径ＯＡ，它对应着直线平衡形式。当crPP时，其平衡路径出现两个分支（AＢ和AＣ），其中一个分支（AＢ）对应着直线平衡形式，另一个分支（AＣ）对应着弯曲平衡形式。前者是不稳定的，后者是稳定的。如ＡＢ路径中的Ｄ点一经干扰将达到ＡＣ路径上同一P值的E点，处于弯曲平衡形式，而且该位置的平衡是稳定的。平衡路径出现分支处的P值即为临界力crP，故这种失稳称为分支点失稳。分支点失稳发生在理想受压直杆的情况。对实际使用的压杆而言，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆。对其进行实验或理论分析所得平衡路径如图15-5中的ＯＦＧＨ曲线，无平衡路径分支现象，一经受压（无论压力多小）即处于弯曲平衡形式，但也有稳定与不稳定之分。当压力PmaxP，处于路径ＯＦＧ段上的任一点，如施加使其弯曲变形微增的干扰，然后撤除，仍能恢复原状（当处于弹性变形范围），或虽不能完全恢复原状（如已发生塑性变形）但仍能在原有压力下处于平衡状态，这说明原平衡状态是稳定的。而下降路径ＧＨ段上任一点的平衡是不稳定的，因一旦施加使其弯曲变形微增的干扰，压杆将不能维持平衡而被压溃。压力maxP称为失稳极值压力，它比理想受压直杆的临界力crP小，且随压杆的缺陷（初曲率、压力偏心等）的减小而逐渐接近crP。因crP的计算比较简单，它对非理想受压直杆的稳定计算有重要指导意义，故本书的分析是以理想受压直杆为主。§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力用上述方法，还可求得其他约束条件下压杆的临界力，结果如下：1）一端固定、一端自由的压杆（图15-6a）22)2(lEIPcr2）两端固定的压杆（图15-6b）机械学院5教案22)5.(loEIPcr3）一端固定、一端铰支的压杆（图15-6c）22)7.0(lEIPcr综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为22)(lEIPcr（15-2）式中，l称为相当长度。称为长度系数，它反映了约束情况对临界载荷的影响：两端铰支1一端固定、一端自由2两端固定5.0一端固定、一端铰支7.0由此可知，杆端的约束愈强，则值愈小，压杆的临界力愈高；杆端的约束愈弱，则值愈大，压杆的临界力愈低。事实上，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，对于后三种约束情况的压杆，如果将它们的挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，就可以用几何类比的方法，求出它们的临界力。从15-6中挠曲线形状可以看出：长为l的一端固定、另端自由的压杆，与长为l2的两端铰支压杆相当；长为l的两端固定压杆（其挠曲线上有Ａ、Ｂ两个拐点，该处弯矩为零），与长为0.5l的两端铰支压杆相当；长为l的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为l7.0的两端铰支压杆相当。需要指出的是，欧拉公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因此公式只适用于弹性稳定问题。另外，上述各种值都是对理想约束而言的，实际工程中的约束往往是比较复杂的，例如压杆两端若与其他构件连接在一起，则杆端的约束是弹性的，值一般在0.5与1之间，通常将值取接近于1。对于工程中常用的支座情况，长度系数可从有关设计手册或规范中查到。（课堂小结）作业布置：9.19.5机械学院6教案第九章压杆稳定第四节欧拉公式的适用范围经验公式第五节压杆的稳定校核第六节提高压杆承载能力的措施教学时数：2学时教学目标：了解欧拉公式的适用范围,熟练掌握进行压杆的稳定计算的两种方法,并掌握提高压杆承载能力的几种措施教学重点：熟练掌握进行压杆的稳定计算的两种方法教学难点：压杆的稳定计算的两种方法教学方法：板书＋PowerPoint教具：教学步骤：（复习提问）（引入新课）（讲授新课）§9.4欧拉公式的适用范围经验公式如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。压杆在临界力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用cr表示。压杆在弹性范围内失稳时，则临界应力为：2222222)()(ElEiAlEIAFcrcr（a）式中称为柔度，i为截面的惯性半径，即AIi，il（9.6）式中Ｉ为截面的最小形心主轴惯性矩，Ａ为截面面积。机械学院7教案柔度又称为压杆的长细比。它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界力的影响。柔度在稳定计算中是个非常重要的量，根据所处的范围，可以把压杆分为三类：（一）细长杆（p）当临界应力小于或等于材料的比例极限p时，即pcrE22压杆发生弹性失稳。若令ppE2（15-5）则p时，压杆发生弹性失稳。这类压杆又称为大柔度杆。对于不同的材料，因弹性模量Ｅ和比例极限p各不相同，p的数值亦不相同。例如A3钢，GPa210E，MPa200p，用式（15-5）可算得102p。9-6压杆的稳定校核工程上通常采用下列两种方法进行压杆的稳定计算。1．安全系数法为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，因此压杆的稳定条件可表示为stcrnPPn（15-7）式中P为压杆的工作载荷，crP是压杆的临界载荷，stn是稳定安全系数。由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响。stn值一般比强度安全系数要大些，并且越大，stn值也越大。具体取值可从有关设计手册中查到。在机械、动力、冶金等工业部门，由于载荷情况复杂，一般都采用安全系数法进行稳定计算。2．稳定系数法压杆的稳定条件有时用应力的形式表达为stAP][（15-8）式中的P为压杆的工作载荷，A为横截面面积，st][为稳定许用应力。stcrstn][，它总是小于强度许用应力][。于是式（15-8）又可表达为][AP（15-9）其中称为稳定系数，它由下式确定：1][][stucrustcrstnnnn机械学院8教案式中u为强度计算中的危险应力，由临界应力图（图15-7）可看出，ucr，且stnn，故为小于1的系数，也是柔度的函数。表9.2所列为几种常用工程材料的对应数值。对于柔度为表中两相邻值之间的，可由直线内插法求得。由于考虑了杆件的初曲率和载荷偏心的影响，即使对于粗短杆，仍应在许用应力中考虑稳定系数。在土建工程中，一般按稳定系数法进行稳定计算。还应指出，在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被削弱的情况，如杆上有开孔、切糟等。由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的，局部截面的削弱对整体变形影响