工程力学习题

例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。CL6TU6Sbhaahay242解：bha2422例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。CL6TU7解：IzAyA2dzdzzbzhh222//dbh312例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。CL6TU8IIyzIIIyzpdoIApA2dpI下面求极惯性矩2022dd/2302dd/2244dd432IApA2d对于空心圆，外径为，内径为Dd2222ddD//()Dd4432D44132()极惯性矩：实心圆：Idp432空心圆：IDdDp()()444432321例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标系yCzIIIyyy212IIIzzz2254012405225605122564582565123234..mmcm4IIyzyz22405275225247500247514...mmcm424051240527556012323.393333393344mmcm.由tan....22224753933256536180IIIyzyz得形心主惯性轴的方位角或0373527..形心主惯性矩的大小为：IIIIIIIyzyzyzyz0022582681224..cm例：用解析法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和切应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大切应力值。单位：MPaxyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa,MPaMPa,=30MPaMPacossinsincos.解：xyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa,MPaMPa,=30MPaMPacossinsincos.maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或min65maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或max1050225.maxminxyx28522MPa例：用图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和切应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大切应力值。单位：MPa使用图解法求解作应力圆，从应力圆上可量出：102221056522585MPaMPaMPaMPaMPa0maxminmax.maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或min65maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或max1050225.例：求图示应力状态的主应力和最大切应力（应力单位为MPa）。解：max.132472MPa1322302023020240522422..MPa2MPa50例题图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC0yFkN3.281N解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象kN202N0xF45°045cos21NN045sin1FN12FBF1N2Nxy45°目录kN3.281NkN202N2、计算各杆件的应力。MPa90Pa109010204103.286623111ANMPa89Pa1089101510206623222ANFABC45°12FBF1N2Nxy45°目录IbhZ312IdZ464IDdDZ()()44446464162hbW323dW)1(3243DW§8-1材料拉伸时的力学性质oabcef明显的四个阶段1、弹性阶段ob—P比例极限E—e弹性极限tanE2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）—s屈服极限3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限—b4、局部颈缩阶段efPesb目录§8-1材料拉伸时的力学性质三卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载oabcefPesb2、过弹性范围卸载、再加载ddghf即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，这就是卸载定律。材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。目录§8-1材料拉伸时的力学性质四其它材料拉伸时的力学性质对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σ0.2来表示。o%2.02.0目录§8-2材料压缩时的力学性质二塑性材料（低碳钢）的压缩屈服极限—S比例极限—p弹性极限—e拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。E---弹性摸量目录§8-2材料压缩时的力学性质三脆性材料（铸铁）的压缩obc脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限bc目录目录四个强度理论的强度条件可写成统一形式：r[]rrrrr112123313412223231212()()()()称为相当应力•一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。•影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。无论是塑性材料或脆性材料：在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。对图示的单元体,计算r3,r4解：首先求主应力,已知x=70，y=30，xy=–40可求得MPaMPa50228.572.94520502402230702307031MParMPar5.774,44.89330MPa70MPa40MPa50MPapDyzt一薄壁圆筒容器承受最大压强为p,圆筒部分的内直径为D，厚度为t,且tD。试计算圆筒部分内壁的强度。包围内壁任一点，沿直径方向取一单元体，单元体的侧面为横截面，上，下面为含直径的纵向截面，前面为内表面。包含直径的纵向截面横截面内表面nnnpP横截面上的应力σ'假想地，用一垂直于轴线的平面将圆筒分成两部分，取右边为研究对象。n—n面为横截面。nn研究对象右图为研究对象的剖面图，其上的外力为压强p，合力P。横截面上只有正应力4π-24π4π222DtDpDAP)('σtpD4pDP.42π(因为t«D,所以ADt)包含直径的纵向截面上的应力pmmnn1用两个横截面mm,nn从圆筒部分取出单位长的圆筒研究。直径平面由截面法，假想地用直径平面将取出的单位长度的圆筒分成两部分。取下半部分为研究对象。包含直径的纵向平面研究对象NNtpσ''yOR研究对象上有外力p,纵截面上只有正应力σ右图是其投影图。R是外力在y轴上的投影，N为纵截面上的轴力。01)12(,0pDtYtpD2''σtpσ3内表面的应力pσ'''内壁的强度校核：此单元体处于三向应力状态，故需要强度理论进行强度计算。σ'σσ'''1''2'03σ1σ2σ3内表面只有压强p,且为压应力tpDtpDrr3.22122132322214313用第三和第四强度理论校核圆筒内壁的强度PPPPyzsincosC为中性轴弯曲以为中性轴弯曲以YPPZPPzy____cos____sinsin)(sin)(cos)(cos)(MxlPxlPMMxlPxlPMyzzy（2）.按基本变形求各自应力：PMyzPMzyMyIMyIzzzsinMzIMzIyyycoscossin)(yzyyzzcIzIyMIzMIyMC点总应力：000MyIzIzysincos2、确定中性轴的位置：故中性轴的方程为：sincosIyIzzy000设中性轴上某一点的坐标为y0、z0，则由中性轴上即0中性轴是一条通过截面形心的直线。tgtg00zyyzzyIIMMIIyz中性轴为中性轴与Y轴夹角1D2D中性轴注：1）中性轴仍过截面形心；2）中性轴把截面分为受拉、受压两个区域；3）同一横截面上max发生在离中性轴最远处1D2D点处；4）若截面为曲线周边时,可作//于中性轴之切线，切点为处max例题：矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示。试确定危险截面、危险点所在位置，计算梁内最大正应力的值。若将截面改为直径D=50mm的圆形，试确定危险点位置，并计算最大正应力。xABCzyP2=2KNP1=1KN0.5m0.5m40zyoadbcABCzyP2=2KNP1=1KN0.5m0.5m40zyoadbcx解:(1)外力分析此梁在P1力作用下将在XOY平面内发生平面弯曲，在P2力作用下将在XOZ平面内发生平面弯曲,故此梁的变形为两个平面弯曲的组合---斜弯曲。-ABCzyP2=2KNP1=1KN0.5m0.5m分别绘出MZ(x)和MY(x)图，两个平面内的最大弯矩都发生在固定端A截面上，其值为MZ=1KN.mMY=1KN.mA截面为梁的危险截面。1KN.m1KN.mMZ(x)My(x)M图x(2)绘制弯矩图ABCzyP2=2KNP1=1KN0.5m0.5m1KN.m1KN.mMZ(x)My(x)M图xyzMYMZA截面为梁的危险截面。