工程力学弯曲应力教程.

1第八章弯曲强度问题2回顾与比较内力AFN应力PIMxFAyFQM??Mx3纯弯曲:梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲§8-1纯弯曲时梁的正应力4一、变形几何关系51.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd）保持为直线，高度不变，相互倾斜，仍垂直于纵向线；纵向线变为弧线，凸边伸长，凹边缩短，中间有一纵向线长度不变。abcd中性层中性轴中性轴（一）变形几何规律：abcdMM62:两个概念中性层：长度不变的纵向纤维层；中性轴：中性层与横截面的交线；7平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。各纵向纤维之间无挤压③横截面上只有正应力。3:推论abcdMM84.几何方程：ＯＯ１yxdＢ１A１(1)......yxydddy)111111OOABOOBAABBAx9（二）、物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。(2)......EyExx这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。10（三）、静力学关系：dAyz(中性轴)xzyOdAM0ddNzAAESAyEAF0ddyzAAyEIAyzEAzMMEIAyEAyMzAAzdd211由于不可能等于零，因而该两式要求：E1.横截面对于中性轴z的静矩Sz等于零；显然这是要求中性轴z通过横截面的形心；2.横截面对于y轴和z轴的惯性积Iyz等于零；在对称弯曲情况下，y轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。12杆的抗弯刚度。zEIz)3(1LLZZEIMdAyz(中性轴)xzyOdAMMEIAyEAyMzAAzdd2(4)......zxIMy13(5)......zmaxWM（四）最大正应力：maxyIWzz抗弯截面模量。14正应力公式:变形几何关系:y物理关系:EyE静力学关系:Z1EIMZIMy为梁弯曲变形后的曲率1为曲率半径,15正应力分布:ZIMyZmaxmaxIMyZmaxWMmaxZZyIWZminWM5.横截面上正应力的画法：MminmaxMminmax16①线弹性范围—正应力小于比例极限p；②精确适用于纯弯曲梁；③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。zzEIxMxIyxM)()(1)(，6.公式适用范围：17常见截面的IZ和WZ圆截面:矩形截面:AdAyI2ZmaxZZyIW644ZdI323ZdW123ZbhI62ZbhW18常见截面的IZ和WZ空心矩形截面:AdAyI2ZmaxZZyIW空心圆截面:)1(6444ZDI)1(3243ZDW12123300ZbhhbI)2//()1212(03300ZhbhhbW19FAyFByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρMxm67.5kN8/2qlFSx90kN90kNmkN605.0160190CMkN90AyFkN90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）解：1.求支反力202.C截面最大正应力C截面弯矩mkN60CMC截面惯性矩45Zm10832.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCCFAyFByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kNMxm67.5kN8/2ql213.全梁最大正应力最大弯矩mkN5.67maxM截面惯性矩45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyMFAyFByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kNMxm67.5kN8/2ql224.C截面曲率半径ρC截面弯矩mkN60CMC截面惯性矩45Zm10832.5Im4.194106010832.510200359CZCMEIEIM1FAyFByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kNMxm67.5kN8/2ql23横力弯曲§8-2正应力公式的推广强度条件24横力弯曲正应力公式:弯曲正应力分布ZIMy弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲最大正应力25弯曲正应力强度条件zIyMmaxmaxmax1.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttmax,ccmax,3.变截面梁要综合考虑与yM,zI26根据强度条件可进行：1、强度校核:][max2、截面设计:][maxMWz3、确定梁的许可荷载:zWM][max27min,maxmaxmaxzIyM分析（1）（2）弯矩最大的截面M（3）抗弯截面系数最小的截面zW图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知:,kN5.62,m16.0,m267.0,1302Fbammd材料的许用应力.MPa60mm1601dmin,maxmaxzWM28B截面：MPa5.41Pa105.4116.0322675.62326331maxdFaWMzBBMPa4.46Pa104.4613.0321605.62326332maxdFbWMzCCC截面：（5）结论:满足强度条件。解:（1）计算简图（2）绘弯矩图（3）B截面，C截面需校核（4）强度校核FaFb29分析:（1）确定危险截面（3）计算maxM（4）计算，选择工字钢型号zW某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重起重量跨度材料的许用应力试选择工字钢的型号。MPa,140kN,7.61F,kN502Fm,5.9lzWMmaxmax（2）30zWMmaxmax计算33663maxcm962m109621014045.910)507.6(MWz解：（1）计算简图（2）绘弯矩图（3）根据（4）选择工字钢型号,36c工字钢3cm962zW31ccttmax,max,,分析：非对称截面，要寻找中性轴位置作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ct32mm522012020808020120102080cy（2）求截面对中性轴z的惯性矩462323m1064.728120201212020422080122080zIz1yz52解：（1）求截面形心33（5）C截面要不要校核？ttMPa8.28Pa108.281064.71088105.26633max,（3）作弯矩图（4）B截面校核ttMPa2.27max,ccMPa1.46max,kN.m5.2kN.m4A1A2A3A434dx§8-3梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件Ⅰ.梁横截面上的切应力(1)矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。hbzyO35由于m－m和n－n上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力1和2不相等。因此，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mm'A1A上与正应力对应的法向内力F*N1和F*N1也不相等。36*111*1N***dddzzAzAzASIMAyIMAIMyAF*112*N2dddd)d(d***zzAzAzASIMMAyIMMAyIMMAF它们分别为式中，为面积A*(图b)对中性轴z的静矩；A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。*d1*AzAyS370xF*N1*N2SdFFF*SddzzSIMF即由于，故纵截面AA1B1B上有切向内力dF'S(图b)：*1N*2NFF38为确定离中性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dF'S对应的切应力'，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力的情况：391.由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；2.对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦即与侧边平行。40从而对于狭长矩形截面可以假设：1.横截面上各点处的切应力均与侧边平行；2.横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyy41xbFddS于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力'均与横截面正交，且大小相等。至于'在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力'在该纵截面范围内是没有变化的。于是有42以上式代入前已得出的式子*SddzzSIMFbISFzz*SxbFddSbISFbISxMzzzz*S*dd得根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力必与'互等，从而亦有43bISFzz*S矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式zyyy1Ad式中，FS为横截面上的剪力；Iz为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩，。*d1*AzAyS上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。44横截面上切应力的变化规律前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力在与中性轴垂直方向的变化规律。上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关系确定。bISFzz*S45222111*42dd*yhbybyAySAhyz22S22S4242yhIFyhbbIFzzbhdy1yyzOy146AFbhFbhhFIhFz23231288SS32S2Smax可见：1.沿截面高度系按二次抛物线规律变化；2.同一横截面上的最大切应力max在中性轴处(y=0):22S42yhIFz47(2)工字形截面梁1.腹板上的切应力dISFzz*S2