工程流体力学3.

§2流体运动的基本概念§2.1研究流体运动的两种方法一、拉格朗日法（Lagrange)拉格朗日法着眼于质点，它以每个运动着的流体质点为研究对象，观察质点的运动轨迹以及运动参量随时间的变化，综合各质点的运动，得到流体的运动规律。在概念上拉格朗日法直观，但在处理流体运动问题时数学处理较复杂。拉格朗日法的数学表示：上式中b1、b2、b3为拉格朗日变数，是质点的标记。对同一质点而言，b1、b2和b3是不变的，也就是在某时刻通过某空间点的质点，而不是其他质点。拉格朗日法用坐标分量可表示为：),3,2,1(tbbbrr),3,2,1(),3,2,1(),3,2,1(tbbbzztbbbyytbbbxxktbbbzjtbbbyitbbbxr),3,2,1(),3,2,1(),3,2,1(kttbbbzjttbbbyittbbbxttbbbru),3,2,1(),3,2,1(),3,2,1(),3,2,1(kttbbbzjttbbbyittbbbxttbbbra2),3,2,1(22),3,2,1(22),3,2,1(22),3,2,1(2速度和加速度为：同理：流体的密度、压强和温度可表示为：),3,2,1(tbbb),3,2,1(tbbbpp),3,2,1(tbbbTT二、欧拉法(Euler)欧拉法着眼于充满运动流体的空间（这种空间称为流场），以流场上各个固定的空间点作为考查对象，观察流体质点通过这些固定空间点时运动参数的变化规律，而不涉及具体质点的运动过程。因为在某一空间点，此时刻为某个质点所占据，在另一时刻被另一质点占据。设在某一瞬时，观察到流场中各个空间点上质点的流速，将这些流速综合在一起就构成了一个流速场。欧拉法的数学表示：在用ux、uy、uz分别表示各坐标轴x,y,z方向上的分量，即：tzyxuu,,,tzyxuuxx,,,tzyxuuyy,,,tzyxuuzz,,,ktzyxujtzyxuitzyxuuzyx,,,,,,,,,同理：流体的密度、压强和温度可表示为：),,,(tzyx),,,(tzyxpp),,,(tzyxTT流体质点的加速度表示流体质点由空间点位置M（x、y、z、t），经dt后运动至相邻点M’（x+dx,y+dy,z+dz）时的速度变化率，根据全微分定义，其x方向的分量有：其中：dzzxudyyxudxxxudttxuxdu,,,dxudtdyudtdzudtxyzzuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxx故：同理有：zuzyuyxuxtudtduyyyyyyuuuazuzyuyxuxtudtduzzzzzzuuua因此，在t时刻空间点（x,y,z）的加速度为：xyza=ai+aj+akxxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzuuuuuuuitxyzuuuuuuujtxyzuuuuuuuktxyzyxzxxyzyxyzzxyzxyzuuuaijkuuiujuktttxuuiujukuuiujukyzuuuuuuutxyzuuutuutua当地加速度：在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率。迁移加速度：流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率。uauut全加速度＝当地加速度＋迁移加速度欧拉法表示随体导数的方法对于任何矢量和任何标量φ都成立。例如空间点上流体密度为标量，密度对时间变化的数学表示为：gradutdtd三、拉格朗日方法与欧拉法的转换1.拉格朗日法转换为欧拉法在拉格朗日方法中，对矢径r作关于时间的偏微分，得质点运动速度：ktbbbujtbbbuitbbbukttbbbzjttbbbyittbbbxttbbbruzyx),3,2,1(),3,2,1(),3,2,1(),3,2,1(),3,2,1(),3,2,1(),3,2,1(),,,(321tbbbxx),,,(321tbbbyy),,,(321tbbbzz因为：反解上式三个标量方程得：),(11),,,(11trbbtzyxbb),(32),,,(22trbbtzyxbb),(33),,,(33trbbtzyxbbktzyxujtzyxuitzyxukttrbtrbtrbujttrbtrbtrbuittrbtrbtrbuuzyxzyx,,,,,,,,,),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1),,(3),,(2),,(1代入速度表达式得：例：设拉格朗日观点给出：式中Ｃ１和Ｃ２对不同的质点取不同的常数。将此转换到欧拉观点中去，并用两种观点分别求加速度。tectx11tecty212.欧拉法转换为拉格朗日法在欧拉方法中，速度函数：首先求解这三个微分方程，得微分方程的三个解：tzyxudtdxuxx,,,tzyxudtdyuyy,,,tzyxudtdzuzz,,,用矢径表示其解，可写为：当确定研究t=t0时刻在空间点（x0,y0,z0）的流体质点时，由上式确定b1、b2和b3，得到该质点的轨迹方程。),,,(321tbbbxx),,,(321tbbbyy),,,(321tbbbzz),3,2,1(tbbbrr例：设流体运动以欧拉观点给出：式中。当t=0时，x=0，y=0，z=0。将此转换到拉格朗日观点中去，并用两种观点分别求加速度。2taxux2tbyuy0,0ba§2.2流体运动中的几个基本概念一、流场分类1、三元流场：凡具有三个坐标自变量的流场称为三元流场（或三维流场）。2、二元流场：凡具有两个坐标自变量的流场。3、一元流场：具有一个坐标自变量的流场。管截面A=A(l)，若人们研究的是各截面上流动的平均物理参数，则它可以简化为一元流场B=B(l,t)。二、定常与非定常当流场中各点的运动参数不随时间变化时，则称流体流动为稳态流动或定常流动。当流场中各点的运动参数随时间变化时，则称流体流动为非稳态流动或非定常流动。kyxjxyixyu5421221为几元流场?速度场例1：设拉格朗日观点给出:式中拉格朗日数Ｃ１和Ｃ２对不同的质点取不同的常数。判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。tecx11tecy21例2：设欧拉观点给出:求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。例3：设欧拉观点给出:求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。22yxcyux22yxcxuyyztuxxztuy0zu三、迹线和流线1.迹线某一流体质点的运动轨迹曲线称为迹线。可见，轨迹的概念是同拉格朗日观点相联系。例：设拉格朗日观点给出:式中拉格朗日数Ｃ１和Ｃ２对不同的质点取不同的常数。求t=0时，通过点（－１，－１）的质点迹线。tectx11tecty212.流线对于某一固定时刻，流场中存在这样一条曲线，其曲线上任意一点的速度与曲线在该点的切线方向重合，这样的曲线称为流线。流线是同一时刻不同质点所组成的曲线，给出了不同流体质点的运动方向,同一时刻的流线互不相交。可见，流线的概念是同欧拉观点相联系。流线有如下的性质：（1）流线是一条光滑曲线，既不能相交，也不能转折。（2）流场中每一点都有一条流线通过，所有的流线形成流线谱；（3）稳态流动时流线的形状和位置不随时间变化，并与迹线重合；非稳态流动时流线的形状和位置是随时间变化的。在流线上某点的邻域内，取一微线长dS，根据流线的定义,即:0udS0xyzyzzxxyijkudSuuudxdydzudzudyiudxudzjudyudxk上式称为流线方程。流线与欧拉概念相联系。(,,,)(,,,)(,,,)xyzdydxdzuxyztuxyztuxyzt000dxudyudzudxudyudzuyxxzzy例：设欧拉观点给出:式中常数a≠0。求t=0时的流线族。解：根据流线定义，在固定时间t的流线方程有：2taxux2tayuy22taydytaxdx积分上述方程，得：ctaytaxactaytaxctayataxa22122122lnln1ln1故当t=0时的流线族为：2acxy３．迹线与流线的异同点：Ⅰ.概念上不同Ⅱ.不定常时迹线与流线一般不重合，Ⅲ.定常时二者必然重合。例：流体运动由下列欧拉变数下的速度函数给出：（1）（2）求流线族并求t=0时过m(-1,-1)点的流线和迹线。tyutxuyx,yuxuyx,四、流管、过流截面和流量1.流管流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，过曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的管状表面称为流管。特点：流管内的流体不能穿出流管表面，流管外的流体不能穿入流管表面。2.过流截面作一连续曲面截流管，流管包围的这部分连续曲面称为过流截面。当过流截面上每一点的法线与过该点流线的切线重合时，则称过流截面为过流断面。当流线平行时过流断面为平面，否则为曲面。3.流量流量有体积流量和质量流量之分。通过过流截面的流量由下式计算：体积流量：质量流量：SdsnuQSdsnuQ流管上两过流截面间的质量流量关系：由上式可以推论：流管的过流断面不能收缩到零，流管不能在流场内部中断，只能始于或终于流场的边界。21SSdsnudsnu四、不可压缩流体和不可压缩均质流体在流场中取控制体系统，设控制体系统的体积为V，控制体内某点的密度为ρ，则控制体内流体的质量：VvmVVVVdvdmddddvvvuvdtdtdtdtdtdt根据质量守恒原理，。故:要保证上式积分为零，必有：上式中，称为散度。0dtdm0Vduvdt0dudtu1.不可压缩流体和可压缩流体根据定义，质点的密度在运动过程中不变的流体称为个不可压缩流体。换言之，对于不可压缩流体的而言，密度的随体导数为零，即：那么必有:0dtd0u对于可压缩流体，密度的随体导数不为零，即：同样也必须满足:0dtd0u2.均质流体均质流体是指流场中各点的密度都相同，对均质流体，有。3.不可压缩流体均质流体不可压缩均质流体要满足两个条件；即：（1）（2）由这两个条件可以看出，。00utdtd00t应该特别指出，不可压缩流体表示每个质点的密度在它运动的过程中不随时间发生变化，但是这个质点的密度和另一个质点的密度可以不同，因此不可压缩流体的密度不一定处处都是常数。只有既为不可压缩流体同时又是均质流体时，密度才处处时时都是为常数。4.流函数当不可压缩流体为二维流动时，在直角坐标下有：若存在某标量函数ψ，它具有：代入上述散度方程满足,故称ψ为流函数。0yuxuyxyxuxyu例1：已知流场中的速度分布：试判断流体是可压缩流体还是不可压缩流体。为常数cyxcyuyxcxuyx,,)1(2222为常数cyxcxuyxcyuyx,,)2(2222例2：已知二维流场中的流体为不可压缩流体，x方向的速度分量：，其中a和b为常数。当y=0时，uy=0。求y方向的速度分量uy。byaxux2五、流