工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)

测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi（i=1，2，…，n）（6-8）【例】设有两组同精度观测值，其真误差分别为：第一组-3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″；第二组+1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。试比较这两组观测值的精度，即求中误差。解：22222219.2841243133m222223.3813046151m由于m1m2，可见第一组观测值的精度比第二组高。同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。二、相对误差：观测值中误差m的绝对值与相应观测值S相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即mSSmK1（6-10）三、误差传播定律【例】丈量某段斜距S=106.28m，斜距的竖角038，斜距和竖角的中误差分别为cm5ms、20m，求斜距对应的平距D及其中误差Dm。解：平距105.113m30'cos8106.28cosSD由于cosSD是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“”代替“d”得sincosSSD再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值nm][222222222)(477.24)20626520()'308sin28.106(5)'308(cos)()sin()(coscmmSmmSD因此，平距的中误差为：mD=±5cm。则最终平距可表示为：D=105.113±0.050m。应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角度单位和长度单位，所以，应注意各项单位要统一。例如，上例中的角值需要化为弧度。综上所述，应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下：列独立观测值函数式对函数式进行全微分写出中误差关系式应用误差传播定律应特别注意两点：正确列出函数式；函数式中的各个观测值必须是独立观测值。【例】用长度为l=30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m=±5mm，求全长D及其中误差mD。解：列独立观测值函数式对函数式进行全微分写出中误差关系式则，全长的中误差为mD=±mm16105555222如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l，写出全长D的中误差关系式并计算中误差mD=10·m=10·5=±50mm。答案错误，原因在于错误地列出了函数式。【例】设有函数式Z=y1+2y2+1，而y1=3x，y2=2x+2，已知x的中误差为mx，求Z的中误差。解：若直接利用式（6-16）和（6-23）计算，则函数Z的中误差xmmmmmmxxyyZ5)2(4)3(4222221上面答案是错误的！这是因为y1和y2均是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此，不能直接应用误差传播定律进行计算。正确的做法是先将y1和y2代入函数式Z，合并同类项后即为独立观测值，再应用误差传播定律，即xZmmxxxZ7571)22(23【例】对某段距离进行了5次等精度观测，观测结果列于表6-3，试计算该段距离的最或然值及),,,(21nxxxfznndxxfdxxfdxxfdz22112222222121nxnxxmxfmxfmxfzm1021dldldldD1021lllD2210222110mmmmmlllD其中误差。计算见表6-3。表6－3利用观测值的改正数计算观测值中误差序号观测值L（m）改正数V（cm）VV（cm）精度评定1251.52-39最或是值：49.251547.1257nLxm观测值中误差：2.215201nVVmcm最或是值中误差：152.2nmMcm观测成果：x=251.494±0.01m2251.46+393251.49004251.48-115251.50+11Σ[L]=1257.47[V]=0[VV]=20四、加权平均值及其中误差【例】已知观测值分别为L1、L2、L3，其中误差分别为m1=±1″、m2=±2″、m3=±3″,则它们的权分别为：取μ=1时，91,41,1233222211mpmpmp取μ=4时，94,1,4233222211mpmpmp取μ=36时，4,9,36233222211mpmpmp【例】水准测量中按测站数和水准测量距离定权。设在A、B两点间进行水准测量，共设置了n个测站，各测站的高差分别为h1、h2、┅、hn，则A、B点间的高差hAB为hAB=h1+h2+┅+hn（6-38）若每个测站的高差中误差为m站，则根据误差传播定律可得hAB的中误差为nmmABh站（6-39）若设每测站的水准距离相等，均为s，则A、B间的水准测量距离SAB=n·s，由式（6-39）可得hAB的中误差ABABhSsmsSmmAB站站（6-40）设sm站，则式（6-40）变为ABhSmAB。当SAB=1km时，ABhm=m公里=μ，可见μ为每公里水准测量高差的中误差。因此，式（6-40）变为ABhSmmAB公里（6-41）由式（6-39）和（6-41）可得：水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，与距离的平方根成正比。可见，在水准测量中，测站数越少或距离越短，则观测高差的精度越高。若取c个测站的观测高差中误差为单位权中误差μ，根据权定义式（6-37）和式（6-39），可得观测高差hAB的权为ncnmcmmPABABhh22站站22（6-42）若取c公里观测高差的中误差为单位权中误差m公里，根据定义权公式（6-37）和式（6-41），可得观测高差hAB的权为ABhhcmcmmPABABSSAB22公里公里22（6-43）由（6-42）和（6-43）式可知：水准测量高差的权与测站数成反比，与水准路线的长度成反比。所以，通过测站数和水准测量距离就可以确定观测高差的权，而不需要利用中误差来定权。【例】在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n1、n2、┅、nn进行n批观测，得相应的算术平均值为L1、L2、┅、Ln，求L1、L2、┅、Ln的权。解：设各观测值的中误差分别为m1、m2、┅、mn，且观测一次的中误差均为m，则nnnmnmnmmmm,,,2211因此，相应的权为iiiinnmmpm222，再令mc2，则iincp，若取c=1，则iinp（6-44）可见，在相同的观测条件下，算术平均值的权与观测次数成正比（或相等）。设n个不等精度观测值L1、L2、…、Ln，相应的权分别为P1、P2、…、Pn，则最或然值（称为加权平均值）为][][212211ppLpppLpLpLpxnnn（6-45）可以看出，当各观测值为等精度时，则权P1=P2=…=Pn=1，上式就与算术平均值计算式（6-31）相同。下面根据式（6-45）推算加权平均值的中误差。设观测值L1、L2、…、Ln的中误差分别为m1、m2、…、mn，则根据误差传播定律可得加权平均值的中误差为2222222221221nnxmPPmPPmPPM（6-46）由权定义式（6-37），有iipm22，代入式（6-46）可得][)(n212222222221PPPPPPPPPPPMnx（6-47）实际计算时，上式中的单位权中误差可用观测值的改正数来计算，其计算公式为1nPVV（6-48）将式（6-48）代入式（6-47），可得加权平均值的中误差计算公式)1(nPPvvPMx（6-50）【例】如图6-3所示，从已知水准点A、B、C经三条水准路线，测得E点的观测高程Hi及水准路线长度Si（见表6-4），求E点的加权平均值及其中误差。各条水准路线权：iiSp1（由式6-43可得）加权平均值：)m(469.527][]H[ppx加权平均值中误差：)(84.8)1]([][Mxmmnppvv则E点高程：HE=527.469±0.009（m）图6-3不等精度水准路线表6-4不等精度高程计算表观测路线E点观测高程Hi(m)观测路线长度Si(km)观测高程权ip观测值的改正数iiHxv(mm)PVV1527.4594.50.221022.002527.4843.20.31-1569.753527.4584.00.251130.25五、思考题习题：1.观测条件主要由那些因素构成？2.观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？试举例说明。3.在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数有误差，试判断误差的性质及符号：（1）视准轴与水准管轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沉；（5）水准尺倾斜。4.何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？5.偶然误差的统计规律是什么？偶然误差的概率分布曲线能说明哪些问题?6.已知两段距离的长度及其中误差分别为：300.465m±4.5cm及660.894m±4.5cm，试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的相对中误差是否相等？7.在三角形ABC中，已测出,'3'0060,'4'0030BA求C的值及其中误差。8．两个等精度观测角度之和的中误差为10，问每个角的观测值中误差是多少？9.以相同精度观测某角5次，观测值分别为39°40.5’、39°40.8′、39°40.9′、39°40.8′、39°40.6′，试计算该角的最或然值及其中误差。10.丈量两段直线得D1=164.86m,D2=131.34m,其中误差分别为mmmmDD03.0,04.021，求：（1）每段直线的相对中误差；（2）两段直线之和的相对中误差；（3）两段直线之差的相对中误差。11.在水准测量中,已知每次读水准尺的中误差为mm2,假定视线平均长为50m，容许误差为中误差的两倍，求测段长为Skm的水准路线往返测高差的容许闭合差应为多少？12.水准测量从点A到点B，如附图所示。已知A、B点高程分别为mHmHBA533.48,145.50。观测高差及其水准测量距离分别为：;2,527.0;3,127.2;2,131.2;4,134.244332211kmSmhkmSmhkmSmhkmSmh求C点的最或然高程及其中误差。附图13.等精度观测了12个三角形的所有内角，求得每个三角形的闭合差ω见附表，试计算测角中误差。附表三角形编号123456789101112闭合差ω()3.2-1.61.4-2.50.72.3-3.12.5-1.8-0.92.7-2.2参考答案：7.'5'0090C8．7.0719．'1.0'7.403910．670159241437814121111．)(254mmS12.48.012±0.002(m)13.ω为真误差，可得三角形内角和的中误差2.2][nM，则测角中误差3.13Mm。六、追加练习：1.对某基线丈量六次，其结果为：L1＝246.535m，L2＝246.548m，L3＝246.520m，L4＝246.529m，L5＝246.550m，L6＝246.537m。试求：(1)算术平均值;246.5365m(2)每次丈量结果的中误差；11.36mm(3)算术平均值的中误差和基线相对误差。4.6mm，1/530002.观测BM1至BM2间的高差时，共设25个测站，每