工程电磁场1-矢量场的环量与旋度.

工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院1工程电磁场王泽忠工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院21矢量分析与场论基础工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院31.5矢量场的环量和旋度工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院41．矢量场的环量矢量场中选取一闭合曲线l表示曲线的走向，切线方向为曲线的正方向过M点曲线的切线方向，其单位矢量为te取一弧元dl工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院5矢量函数A沿有向闭合曲线l的线积分dcosddtlllAlAlAl称为矢量场A按所取方向沿曲线l的环量环量描述矢量场旋转特征是一个标量。它不仅与场矢量A有关，而且与回路l的形状和取向有关。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院62．环量面密度设M为矢量场中的一点，在M点取一单位矢量ne，并在M点周围取小闭合回路l，令l的环绕方向与ne构成右手螺旋关系；作以l为边界，ne为法线方向，且过点M的小曲面S。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院7当S以任意方式收缩到M点时，若极限00dlimlimlSSSSAl存在，则称该极限值为矢量场A在M点，沿方向ne的环量面密度。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院8dlSAl是环量的平均面密度。取极限得到在M点的环量面密度。若极限存在，则环量面密度与ne有关，与l的形状无关。大小反映了A在M点绕ne方向旋转的强弱。在空间的一点，方向ne可以任意选取。随着ne方向改变，环量面密度将连续变化。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院93．旋度的定义环量面密度是与方向有关的标量。对比，方向导数是与方向有关的标量。梯度矢量的方向是方向导数最大的方向，其模值是最大方向导数的值，它在某一方向的投影，就是该方向的方向导数。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院10若在矢量场A中的一点M处存在矢量R,它的方向是A在该点环量面密度最大的方向，其模值是最大的环量面密度，则称矢量R为矢量场A在点M的旋度，记为rotARA绕ne方向的环量面密度就是rotA在ne上的投影。ne方向的环量面密度工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院114．旋度的计算环量面密度定义式中的极限与所取小曲面边缘的形状无关。现取如图所示平行于yoz坐标平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与xe平行，小矩形面的面积为4xSyz工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院12以M点为中心，在其周围将A展开成泰勒级数并忽略高阶项，则A沿xl的线积分为（xl沿逆时针方向）工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院131234ddddd=2222=4xlyzyzyzyzyzAAAzyAyzzyAAAzyAyzzyAAyzyzAlAlAlAlAl工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院14得0drotlim=xxlyzxSxAASyzAlA工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院15取如图的平行于zox坐标平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与ye平行，小矩形面的面积为4ySzx将A展开成泰勒级数并忽略高阶项，则A沿yl的线积分为工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院161234ddddd=2222=4ylxzzxxzzxxzAAAxzAzxxzAAAxzAzxxzAAzxzxAlAlAlAlAl工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院17得0drotlim=yylxzySyAASzxAlA工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院18取如图的平行于xoy坐标平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与ze平行，小矩形面的面积为4zSxy，将A展开成泰勒级数并忽略高阶项，则A沿zl的线积分为工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院191234ddddd=2222=4zlyxxyyxxyyxAAAyxAxyyxAAAyxAxyyxAAxyxyAlAlAlAlAl工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院20得0drotlim=zzlyxzSzAASxyAlA工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院21综上所述，得rot()()()yzxxzyyxzAAyzAAzxAAxyAeee工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院22为便于记忆，写成行列式形式rotxyzxyzxyzAAAeeeA旋度运算是分析矢量场的工具。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院23旋度是描述矢量场在任一点旋转性质的量。旋度是矢量，其方向表示矢量场在该点环量面密度最大的方向，其大小是最大的环量面密度。矢量场中的每一点都对应着一个旋度矢量，旋度矢量形成了一个新的矢量场，称为矢量场A的旋度场。旋度处处为零的场称为无旋场。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院24例已知()xyayxAee，a为常数，求rotA。解xAay，yAax，0zArot()()()yyxxzzxyzAAAAAAyzzxxyAeee()2aaazzee工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院255．旋度的运算规则设C为常数，u为标量函数，A、B为矢量函数，有1）rot()rotCCAA2）rot()rotrotABAB3）rot()rotgraduuuAAA4）rot(grad)0u工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院265）div()rotrotABBAAB6）div(rot)0A公式4)可根据梯度和旋度在直角坐标系中的计算公式直接证明。公式6)可利用旋度和散度在直角坐标系中的计算公式直接证明。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院276．斯托克斯定理设矢量场(,,)(,,)(,,)xxyyzzAxyzAxyzAxyzAeee的分量,,xyzAAA在空间区域中有一阶连续偏导数，l为曲面S的边界，l与S成右手螺旋关系drotdlSAlAS工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院28或dddxyzlAxAyAz()dd()ddyxzzSAAAAyzzxyzzx()ddyxAAxyxy工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院29斯托克斯定理的解释：环量：法向环量面密度的面积分环量：矢量闭合线积分环量面密度＝旋度在法线方向的投影矢量闭合线积分＝旋度的面积分（通量）（1．5结束）工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院301.6哈米尔顿算子工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院311．哈米尔顿算子直角坐标系中，哈米尔顿算子定义xyzxyzeee又称为纳布拉算子一个矢量形式的微分算子兼有微分运算和矢量运算的双重作用工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院32不是函数，不是物理量，只是一种运算当它以一定方式作用于空间函数时，所得的矢量或标量空间函数才具有意义。应用算子的目的，是为了使场论中的有关公式更为简洁，便于记忆和运算。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院332．算子的作用规则直接作用于标量函数，得矢量函数()xyzxyzuuxyzuuuxyzeeeeee工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院34以点积方式作用于矢量函数，得标量函数()=xyzxxyyzzyxzAAAxyzAAAxyzAeeeeee工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院35以叉积方式作用于矢量函数，得矢量函数()()()()()xyzxxyyzyyxzzxyzAAAxyzAAAAAAxyzzxxyzAeeeeeeeee工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院36用行列式表示=xyzxyzxyzAAAeeeA可见，算子作用于标量函数和矢量函数时有三种形式：,,uAA。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院37具有矢量的形式，但不是完整的矢量，故A与A不同。yxzAAAxyzAxyzAAAxyzAA为一个标量函数，而A仍为一个算子（标量微分算子）。工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院383．用算子表示梯度、散度和旋度表示梯度gradxyzuuuuuxyzeee工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院39表示散度divyxzAAAxyzAA表示旋度rotxyzxyzxyzAAAeeeAA工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院404．拉普拉斯算子算子是一个矢量形式的一阶微分算子。在场的研究中，还要用到二阶微分算子2，将其称为拉普拉斯算子，其定义为2222222xyz工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院412222222222222()uuuxyzuuuxyz作为一个整体，也可作用于矢量函数。2222222222222()xyzxyzAAAAA工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院42写成分量形式为2222222222222222222++xxxxyyyyzzzzAAAxyzAAAxyzAAAxyzAeee工程电磁场主讲人：王泽忠2020/1/2华北电力大学电气与电子工程学院435．算子的常用运算规则1）0C（C为常标量）2）0C（C为常矢量）3）0C（C为常矢量）4）()uvuv5）()ABAB6）()