工程电磁场倪光正第2章静态电磁场Ⅰ静电场

第2章静态电磁场Ⅰ：静电场2.1基本方程与场的特性2.2自由空间中的电场2.3导体和电介质2.4电介质中的电场2.5边值问题2.6镜像法2.7数值计算方法——有限差分法2.8电容•部分电容2.9静电场能量2.10电场力当电磁场中的源量（电荷或电流）不随时间变化时，场中的场量也将不随时间变化而仅是空间坐标的函数。因此，麦克斯韦方程组可简化为：积分形式：dsJdlHlscldlE0sdSB0svdVdSD(2-1a)(2-1b)(2-1d)(2-1c)2.1基本方程与场的特性微分形式：JHc0E0BD(2-1e)(2-1f)(2-1g)(2-1h)场源（静电荷q）——相对于观察者静止，且电量不随时间而变化。2.1.1基本方程()0ErD描述静电场基本规律的数学模型，应归结为：积分形式：微分形式：svdVdSDldlE0媒质构成方程：ED对于理想化的真空(自由空间)，上式中的介电常数0无旋静电场基本特征：有散（有源）、无旋场2.1.2真空中的高斯定理•静电场的有散性真空中静电场的电场强度E与源量q之间的关系为：svdVdSDED0svdVdSE000qdVdSEsv上式称为真空中的高斯定理积分形式定理表明，在真空中，通过任一闭合曲面S的电场强度通量(电通量)，等于该曲面所包围的电量除以真空中的介电常数。0()Er上式为真空中高斯定理的微分形式，该式表明，真空中电场强度在任一场点上的散度等于该点的电荷体密度除以真空的介电常数ε00(0)E0(0)E0(0)E0E0E0Ea）分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使中的D可作为常数提出积分号外。SSDd高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性场才有解析解。高斯定律的应用下页上页返回计算技巧例1试求电荷线密度为τ的无限长均匀带电体的电场。解:分析场分布,取圆柱坐标系,dqSSD由eDπ2eDE0π201ddSSSDSDLLLDπ2得下页上页返回图无限长均匀带电体球壳内的电场qrDS2π4dSDrrqeD2π4球壳外的电场qrDS24πdSDrrqeD2π4例2哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？下页上页返回图±q分别在金属球内外图q在金属球壳内2.1.3静电场的无旋性0Ed0lElE0数学意义：的线积分与积分路径无关E静电场可引入标量电位函数积分形式：微分形式：物理意义：t1dd0llElFlqtFEq沿任一闭合路径l，移动单位正电荷一周，电场力所作的功为零。换句话说，沿任一闭合路径，静电场对电荷作功，系统的功或能量始终是守恒的——静电场守恒场（保守力场——作功与路径无关的力场）。2.2自由空间中的电场工程电磁场分析的首要任务——正问题：已知源量、媒质及其特性参数，求场量分布（场分布问题）。场量：()Er基本场量()r辅助场量（位函数）基于亥姆霍兹定理，可知()()()ErrAr源量：电荷2.2.1自由空间中的和()Er()r1d4VErrVrr1d4VrVrr1d04VErArVrr()()Err()()rEr0E0()Er()()()ErrArzyVP(x,y,z)dV(x,y,z)xoRrr()rRerr求任意场点P处的示意图()Er()()ErrdQPPrEl0dPPrEl规定电位的参考点Q后，任一场点P处的电位为0大地工程上，以大地表面为电位参考面2.2.2场分布：基于场量E的分析2.2.3场分布：基于位函数φ的分析例2.2求电偶极子的远区(rd)电场。1rzqqor2r(,,)Prdpqd电偶极矩(简称电矩)电偶极子——一对等量异号的点电荷，间隔距离d很小，组成的场源系统。[解](1)()Prd1rzqqor2rdrcosdp012210121144Pqrrrrqrr21cosrrd212rrr20cos4qdr2014rper(2)E3012cossin4rrrrEeerrEeEepeer电偶极子远区的特征是：21r31Er(,)r(,)Er2.2.4电场线和等位面(线)zyxoyexezedlPE(,,)PxyzE线1.线E0ldE2.等位面(线)——场中电位相等的各点的轨迹(等位面)ddddddddd0xxyyzzxyzyzxzxyxyzEeEeEexeyezeEzEyeExEzeEyExedddxyzxyzEEE(,,)constxyz(,,)constCxyzE线方程电场线与等位面(线)的性质：等面不能相交；线起始于正电荷，终止于负电荷;E线不能相交；EE等位面(线)。线愈密处，场强愈大;E因为电场中某一点电场的方向就是此处电场线的切线方向，如果电场线相交，那么交点处电场就有两个方向，这是与概念相背的沿等势面移动电荷，电场力不做功。（因为W=qU，任意两点的电势差U=0）电场力不做功，就说明“电场力的方向”与“移动的方向”垂直。例2.3描绘电偶极子远区的等电位线和电场线（场图）。20cos,,C4Pqdrrr2=k1cosk1——常数[解](1)等电位线：0/20=0r最大=/2r=0/2上述曲线的静像0z=0(即=/2)的平面为零电位面电偶极子的等位线和电场线(2)d0ElErErErrdsinddE=0sindcos2drrsinsind2drrlnr=2lnsin+lnk2r=k2sin2(线方程)E2.3导体和电介质2.3.1静电场中的导体静电平衡静电场中导体的特征导体内部；0E0E=const等位体；导体表面必与其外侧的线正交；E电荷必然以面电荷密度分布的形态，呈现在导体表面，且其分布密度取决于导体表面的曲率（曲率越大，即曲率半径越小，面电荷分布越集中）。()r尖端放电现象——工程控制：凡高压设备表面抛光，曲率半径增大且均匀化（电极、接线端）工程应用：避雷针0E0q静电屏蔽(electricshield)ⅰ导壳隔绝外电场的影响工程应用：法拉第笼ⅱ接地导壳可隔绝壳内带电体对壳外空间的影响qo0E导壳接地qo0E工程应用：高压工作场所的接地金属网，用以屏蔽高压电场对人体的威胁（经验证明f=50Hz时，网格尺寸为1cm2即已足够；f越高，网格尺寸越小）。2.3.2静电场中的电介质•电介质的极化电介质——=0，即理想的绝缘材料。1.极化现象无极性分子有极性分子图电介质的极化电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；电介质内部和表面产生极化电荷(polarizedcharge)；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。下页上页返回EE2.极化电场20lim(C/m)VpPV描述极化电场的场量——电极化强度定义为：P单位体积内的电偶极矩的矢量和表示电介质的极化程度为什么实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中EP0ee称为介质的极化率PE(合成电场)各向同性介质电极化率χe不随电场的方向改变,反之，称为各向异性媒质；线性介质电极化率χe不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质；均匀介质电极化率χe不随空间坐标而变化，即介质中各点的电极化率χe为同一常数，反之，称为非均匀媒质。极化场的场分布——源量(极化电荷)--场量()间的关联PzyVdV(x,y,z)xo0EReRrr0P00()PrdpPV200dd411d4RPPVeRPVR011dd4PPVVPVR2014rperRRRR11'2ep41111PPPRRR011dd4PVVPPVVRRG.T.n0011dd44SVPePSVRRnPe~“分布”nPPeP~“分布”利用散度定理极化电荷体密度极化电荷面密度p357根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零在引入极化电荷密度描述的基础上时，极化电场场量为下页上页返回2.4电介质中的电场基本出发点：电介质中的电场——真空中，自由电荷与极化电荷共同产生的静电场。2.4.1电介质中的高斯定理001()PEP0EP0DEPD电位移矢量(displacementvector)PP微分形式d()ddSVVDSDVVq由散度特性可见，电位移矢量的源是自由电荷，故电介质中，穿过任一闭合面，通量等于该闭合面内自由电荷的代数和，而与束缚电荷无关。DD通量～自由电荷，决非意味的分布与介质无关（事实上，即已给出）D0DEPDE存在电介质时，的源既可是自由电荷，也可以是束缚电荷。在具有对称性特征的电介质中电场计算时，高斯定理（积分形式）是十分简便有效的方法。积分形式2.4.2介电常数•击穿场强1.介电常数0DEP0e1E0e(1)E令即媒质（电介质）的构成方程——介质的介电常数，F/m，表征了介质的极化特性。r0——相对介电常数，无量纲量。re1均匀与非均匀介质均匀=const()r非均匀EP0e各向同性与各向异性各向同性：媒质参数不随电场的方向改变；各向异性：媒质参数随电场的方向改变。xxxyxzyxyyyzzxzyzz线性与非线性线性：媒质参数不随电场的值而变化；非线性：媒质参数随电场的值而变化。2.击穿场强Ej雷击闪电——大气为雷积云与大地间的高电场击穿的实例。常态下大气（空气）6j310V/m30kV/cmE工程上，对于绝缘材料的应用，规定jEE工作各类开关中的电弧放电——空气、油、SF6被击穿r000EEDE)(dr0UxdEP0eexrr)1(PnePp极化电荷面密度rr)1(—rr)1(令Pp极化电荷体密度rE0例平板电容器中有一块介质,画出D、E和P线分布。图D、E与P三者之间的关系D线E线P线思考D线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；E线由正电荷出发，终止于负电荷；P线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。下页上页返回2.4.3不同媒质分界面上的边界条件1.两种不同介质分界面上的边界条件ⅰd0lEl1t2tEE12E2nE1tE2tl2E1nP21l1tene2E1El旋度方程ttEE12E的切向分量连续。狭小的矩形回路lⅱdSDSq2n1nd()SDSDDSS12D2nD1tD2tlD1nP21Stene1D2D散度方程n1n2DDD的法向分量不连续当时，D的法向分量连续。0n2n1DD扁平圆柱体当分界面上=0时，若介质1、