左维老师群论讲义6

行置换算子集:杨盘T的所有的行置换算子组成的集合.第五章对称群()RTp列置换算子集:杨盘T的所有的列置换算子组成的集合.()CTq()()()()qpRTqCTPTpQTq杨算子:()()()()()qpRTqCTETPTQTpq引理1:设T和T是两个杨盘,由置换r相联系,即T=rT.置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(i,j)处的数字变到sT中的(k,l)处,则s=rsr–1作用在T上将T中位于(i,j)处的数字变到sT中的(k,l)位置.推论:设T和T是由置换r相联系的两个杨盘,即T=rT,则有下列关系成立11111(')(),(')()(')(),(')()(')()RTrRTrCTrCTrPTrPTrQTrQTrETrETr引理2:设T是杨盘,p和q分别是T的任意行置换和列置换,T与T通过置换pq相联系,即T=pqT.则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现在T的同一列.设两个杨盘由置换r相联系,即T=rT.如果T中任意两个位于同一行的数字不出现在即T的同一列,则置换r必可表示为r=pq.引理3:设T和T是属于不同杨图[λ]和[λ]的两个杨盘,[λ][λ],则总能找到两个数字同时出现在T的同一行和T的同一列.引理4:如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行和杨盘T的同一列,则这两个杨盘的杨算子满足推论:属于不同杨图的两个杨盘T和T,必有(')()0ETET(')()0ETET引理5:设()nsSxxss是置换群Sn的群代数中的一个向量.如果对于杨盘T的任意行置换p和列置换q,满足则x与杨算子E(T)差一个常数因子,即qpxqx()xET引理6:对应于杨盘T的杨算子E(T)是一个本质的本原幂等元.相应的不变子空间RG是对称群Sn的一个不可约表示空间,其维数是n!的因子.引理7:同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的.不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的.5.2对称群的不可约表示定理:杨算子E(T)是本质幂等元,相应的不变子空间RGE(T)是对称群Sn的一个不可约表示空间,给出Sn的一个不可约表示;由同一杨图的不同杨盘给出的表示是等价的,而不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的.标准杨盘:在杨图上,每一行数字按从左向右增大,每一列数字按从上到下增大的顺序来填充,得到的杨盘称为标准杨盘.记作定理:杨图[λ]对应的不可约表示的维数等于该杨图的标准杨盘的个数f[λ].[]2[]()!fn[]rT杨图[λ]的标准盘个数的计算公式:gij为杨图上位置(i,j)处的钩长.半正则表示:标准盘系列:从Sn的一个标准杨盘Tr[λ]出发,作标准盘系列:[](,)!ijijnfg1231[][][][][][1],,,,...,nrrrrrTTTTTT相应杨算子为1231[][][][][][1],,,,...,nrrrrrEEEEEE相应本原幂等元为112211[][][][][][][][]/,/,/,...,/nnrrrrEEEE5431321半正规单位(半正则母单位):定义算子121212323231212111[][1]0[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]11..................11nnnnnnnnnnnrrrrrrrrrrrrrrrrrreeseeEeeeEeeeEeeeEe[][]!/nf为本原幂等元,且满足[]re1111121121121121122[][][][][][][][][]222[][][][][][][][][][][][][][][][][]1111nnnnnnnrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrreeeEeeEeeEeEeEeeEeEeEe[][][][][][]0[]rsrsrrreeees半正规单位(半正则母单位)定义:设属于同一杨图的标准盘和由置换相联系,即定义算子.为杨算子.11[][][][][]1rsrrsseeEe[]rT[]sTrsnS[][]srsrTT[][][]rsrrssEPQ[][][][]rrrrrEPQE构造Sn群代数RG的一组基其中[][],[1,1],[2,2],[2,1,1],...,[1]nnnnn[],1,2,...,rsf上述这组基矢称为Sn群代数的半正规单位,满足[][][][][]rstustrueee1)半正规单位共有n!个,在群代数空间是完备的.2)每一个杨图[λ]对应与对称群Sn的一个不等价不可约表示.3)Sn群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵.4)在半正规基矢下,表示约化为5)Sn任意群元可写为相邻数字对换的乘积.[][][]()VsfV求表示矩阵元V[λ](s)的规则,其中s=(k–1,k):[]()1rrVs1)当数字k–1和k在Tr[λ]的同一行时,对角元2)当数字k–1和k在Tr[λ]的同一列时,对角元[]()1rrVs3)当数字k–1和k不在Tr[λ]的同一行和同一列时,设Tu[λ]=sTr[λ],则[][]2[][](),()1,()1,(),rrruuruuVsVsVsVs其中ρ为Tr[λ]中数字k–1到k的轴距离的倒数.4)其它情况矩阵元为零.酉表示:定义对称群代数RG的新基矢[][][][]/rsrsrsOe其中[]r是由杨图[λ]和r决定的数,称为盘函数.如果盘函数取为[][][][]1[]()(1)(1)()(1)nrrrrrnnncCμ是标准盘Tr[λ]中数字n与第μ行最后一个数字的轴距离的倒数,μn是数字n所在行数.上述基矢给出对称群的酉表示.李代数:设g是数域K上的线性空间,对于任意X,Y∈g,定义李积[X,Y]∈g,如果李积满足下述条件:1)双线性.即对任意a,b∈K,X,Y,Z∈g,有2)反对称.即对任意X,Y∈g,有3)雅可比关系[,][,][,][,][,][,]aXbYZaXZbYZXaYbZaXYbXZ[,][,]XYYX[[,],][[,],][[,],]0XYZYZXZXY则称代数g为李代数.以李群的无限小生成元为基矢张开的线性空间g={X=aiXi|ai∈R}中,若定义李积为对易关系[X,Y]=XY-YX,则构成一个李代数.第六章李代数基础6.1基本概念■子代数:设g1是李代数g的一个子集,如果对任意X,Y∈g1,李积运算都满足1,XYg则g1称为李代数g的一个子代数.群的乘法:两个置换的乘积rs为先进行s置换,再进行r置换.■理想子代数:设g1是李代数g的一个子集,如果对任意X∈g1,Y∈g,都有1,XYg则g1在李积运算下是不变的,称为李代数g的一个理想子代数,或简称理想.■中心:李代数g中所有与李代数对易的元素组成的集合,称为李代数g的极大可交换理想,或简称为李代数g的中心,即,0,CXgXYYg1212,0ggggg■直和:李代数g的两个理想g1和g2如果满足条件则称李代数g是理想g1和g2的直和.记为g=g1g2.1212121,0,,gggggggg■半直和:李代数g的两个子代数g1和g2如果满足则称李代数g是g1和g2的半直和.记为g=g1Sg2.1()()(),(),()PaXbYaPXbPYXYZgPZPXPY■同构:设g1和g2是两个李代数,如果存在一个从g1到g2的一一对应的满映射P,且对任意a,b∈K和X,Y∈g满足则称李代数g1和g2同态.■同态:设g1和g2是两个李代数,如果存在一个从g1到g2的满映射P,且对任意a,b∈K和X,Y∈g满足1()()(),(),()PaXbYaPXbPYXYZgPZPXPY则称李代数g1和g2同构.■单纯李代数:如果李代数g不具有非平庸理想,则称g为单纯李代数,或单李代数.■半单李代数:如果李代数g不具有非平庸可交换理想,则称g为半单李代数.iigg■半单李代数的判据:判据1李代数g是半单李代数的充要条件为:g可以写作其理想的直和,即且gi均为单李代数.李代数的内导子:李代数g上的内导子是李代数g上的线性变换,设X∈g,则内导子ad(X)定义为半单李代数的嘉当判据:李代数g为半单李代数的充要条件是:()[,],adXZXZZg李代数的基林型(基林度规张量):定义为下述对称张量ggCC其中C是李代数g关于基矢X1,X2,…,Xn的结构常数,即[,]XXCXdet()0g即基林度规张量不退化,存在逆张量gg李代数的卡塞米尔算子:12设,,,是半单李代数的一组基矢,定义称为的卡塞米尔算子.nXXXgCgXXCg半单李代数g的卡塞米尔算子C与g的所有元素可对易.推广的卡塞米尔算子:321112212iiiiICCCXXX李代数的内导子与基林度规张量的关系:李代数的导出代数-----子代数链:12设,,...,为李代数的一组基矢,内导子()在这组基矢下表示为()[,]则nXXXgadXadXXXXCX()()ggCCtradXadX(0)(1)(2)ggg1.a)李代数g的导出链(0)(1)(0)(0)(2)(1)(1)()(1)(1)其中,,,,,,,,kkkgggggggggggb)可解李代数:如果存在一个正整数k,使得()(1)(1),0kkkggg则g称为可解李代数.[0][1][2]gggc)可解李代数的每一个子代数都是可解李代数.d)可解李代数不含任何单纯李代数.[0][1][0][2][1][][1]其中,,,,,,,,kkgggggggggggb)幂零李代数:如果存在一个正整数k,使得[][1],0kkggg则g称为幂零李代数.2.a)李代数g的降中心链c)幂零李代数的每一个子代数都是幂零李代数.d)幂零李代数不含任何单纯李代数.e)幂零李代数必为可解李代数定理:任意一个李代数g都可以表示为一个可解李代数与一个半单李代数的直和.例:so(3)李代数b)卡塞米尔算子22212311()22ijijijijCgXXXXXXXa)基林度规张量,,,1,2,3kijijkkijijkXXCXijkC212mlijjiiljmilmjmlilmjlmijijijggCCg6.2复半单李代数的正则形式■李代数基底(线性变换)------另一组基底1.李代数上的本征值问题李代数g是r维复李代数,{Xμ}是g的一组基底,满足(),adAXAXX,,对任意,考虑的本征值问题,即XXCXAaXA其中,为本征值.本征方程可写为XxXgaxCXxX因{Xμ}是李代数g的一组基底,是g上一组线性无关的向量()0aCx是关于{xν}的本征方程,有非平凡解条件为det()0aC在复数域上有r个非平凡解,每个解称为李代数的一个根.2.李代数的嘉当子代数如果(1)选择A,使A的不同根的数目最大;(2)李代数g是半单李代数.