巧用数学归纳法解答数列问题

巧用数学归纳法解答数列问题在解答与正整数*)(Nnn有关的命题时，数学归纳法是一种常用的方法.下面举例说明如何用数学归纳法探索数列的通项公式、探索与数列有关的参数的取值范围、证明与数列有关的不等式.一、巧用数学归纳法探索数列的通项公式例1（07.江西）设正整数数列na满足：24a，且对于任何*nN，有11111122111nnnnaaaann．(Ⅰ)求1a，3a；(Ⅱ)求数列na的通项na．解：(Ⅰ)由已知不等式得：1111112(1)2nnnnnnaaaa．①当1n时，由①得：21211111222aaaa，即1112212244aa，解得12837a．∵1a为正整数，∴11a．当2n时，由①得：33111126244aa，解得3810a．∵3a为正整数，∴39a．∴11a，39a．(Ⅱ)方法一：由11a，24a，39a，猜想：2nan．下面用数学归纳法证明．1当1n，2时，由（1）知2nan均成立；2假设(2)nkk成立，则2kak，则1nk时，由①得221111112(1)2kkkkakak3212(1)(1)11kkkkkkakkk221211(1)(1)11kkkakkkk∵2k时，2(1)(1)(2)0kkkkk，∴21011kkk，．11k，∴1011k，．又1ka*N，∴221(1)(1)kkak．故21(1)kak，即当1nk时，2nan成立．综上，由1，2知，对任意n*N，2nan．评析：①本题是探索型题，“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要求；②运用数学归纳法的关键是“由当kn时成立，如何过渡与转换为当1kn时也成立.”二、巧用数学归纳法探索数列中参数的取值范围例2(04.湖北)已知0a，}{na满足aa1，nnaaa11，,3,2,1n.(Ⅰ)已知}{na的极限存在且大于0，求nnaAlim；(Ⅱ)设Aabnn，,3,2,1n.证明：)(1AbAbbnnn；(Ⅲ)若nnb21对1,2,3,n…都成立，求a的范围.解：(Ⅰ)∵nnalim存在，∴Aaannnnlimlim1，∴)1(limlim1nnnnaaa，即AaA1,………………………(*)∵0A，∴242aaA.(Ⅱ)结合条件及(*)式得：)(11111AbAbAAbAaaAabnnnnnn，∴)(1AbAbbnnn.(Ⅲ)若nnb21对,3,2,1n都成立，则当1n时有211b，即21242aaa，解得：23a.下面用数学归纳法证明当23a时，nnb21对,3,2,1n都成立.①当1n时，由前解答知结论成立.②假设当)1(kkn时，结论成立，即kkb21成立.则当1kn时，AbAAbAbAbAbbkkkkkkk121)()(1，∵23a，∴2244923242aaA，∴1212kkkbAAb.∴1121121)(kkkkkkAbAAbAbb，即当1kn时，结论也成立.∴由①、②可知，对任意*Nn，结论都成立.∴nnb21对,3,2,1n都成立的a的取值范围是23a.评析：①本题题涉及的知识点有数列、数列极限、方程、不等式、数学归纳法等，考查学生综合应用数学知识的能力，考查学生的运算、推理和逻辑思维能力；②本题第(Ⅲ)问是证明与自然数有关的命题，可优先考虑用数学归纳法，在确定a的取值范围时，利用了从特殊到一般的思想方法.例3(05.湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及其捕捞强度对鱼群总量的影响.用nx表示某鱼群在第n年初的总量，Nn，且01x，不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与nx成正比，死亡量与2nx成正比，这些比例系数依次为正数a，b，c.（Ⅰ）求1nx与nx的关系式；（Ⅱ）猜测，当且仅当1x，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)（Ⅲ）设1,2ca，为保证对任意1x)2,0(，都有Nnxn,0，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.解：（Ⅰ）从第n年初到第1n年初，鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡量分别为nax、nbx、2ncx，∴21nnnnncxbxaxxx，即)1(1nnncxbaxx(*Nn).………(*)（Ⅱ）若每年年初鱼群的总量保持不变，则1xxn(*Nn)恒成立，从而由(*)得：)1(111cxbaxx，即)1(111cxbaxx，∴cbax1，∵01x，∴ba.于是于是猜测：当且仅当ba，且cbax1时，每年年初鱼群的总量保持不变.（Ⅲ）当1,2ca时，)3(1nnnxbxx.………(**)若b的值使得对任意1x)2,0(，都有*,0Nnxn，则由(**)得：bxn30，*Nn.特别地，有bx301，∴130xb，又∵1x)2,0(，∴10b.∴猜测b的最大允许值是1.下面用数学归纳法证明当1x)2,0(，1b时，都有*,20Nnxn.①当1n时，结论显然成立.②假设当kn(1k)时，结论成立，即20kx,则当1kn时，0)2(1kkkxxx，又∵211)1()2(21kkkkxxxx，∴当1kn时，结论也成立.综合①、②可得，当1x)2,0(，1b时，都有*,20Nnxn.∴为保证对任意1x)2,0(，都有Nnxn,0，则捕捞强度b的最大允许值是1.评析：①由鱼群的总量不变推断出1xxn恒成立，即得到cbax1，利用归纳、猜想、证明得到b的最大允许值是1；②本题涉及的知识点有数列、方程、不等式、数学归纳法等，考查考生分析、归纳、推理、论证能力及应用所学知识解决实际问题的能力.三、巧用数学归纳法证明数列不等式例4(06.湖南)已知函数xxxfsin)(,数列}{na满足：101a，)(1nnafa，,3,2,1n.证明:(I)101nnaa；(II)3161nnaa.证明：(I)先用数学归纳法证明:10na,,3,2,1n.①当1n时，101a，∴当1n时，10na；②假设当kn(1k)时，结论成立，即10ka.∵当10x时，0cos1)(xxf，∴)(xf在)1,0(内单调递增.∵)(xf在]1,0[上连续，∴)1()()0(faffk，即11sin101ka.∴当1kn时，结论成立.∴由①、②可得，10na对一切正整数都成立.又∵10na，nnnnaaaasin1，∴101nnaa.(II)设函数xxxxgsin61)(3(10x).由(I)知，当10x时，)0(sin)(fxxxf，即xxsin.∴02121sin2121cos121)(22222xxxxxxxg，∴)(xg在)1,0(内单调递增.∵)(xg在]1,0[上连续，且0)0(g，∴当10x时，0)(xg，∴0)(nag，即0sin613nnnaaa，∴13sin61nnnnaaaa，即∴3161nnaa.评析：本题以函数为载体，考查导数及应用、数学归纳法、构造法、不等式证明、递推数列等基础知识和基本技能，考查分析、判断、推理和运算能力以及等价转化的数学思想.例5(07.Ⅰ)已知数列na中12a，1(21)(2)nnaa，123n，，，…．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）若数列nb中12b，13423nnnbbb，123n，，，…，证明：342nnab，123n，，，…．解：（Ⅰ）由题设：1(21)(2)nnaa(21)(2)(21)(22)na(21)(2)2na，∴12(21)(2)nnaa．∴数列2na是首项为22，公比为21的等比数列，∴22(21)nna，∴na的通项公式为2(21)1nna，123n，，，…．(Ⅱ)用数学归纳法证明．(ⅰ)当1n时，因22，112ba，所以112ab，结论成立．(ⅱ)假设当nk时，结论成立，即342kkab，也即43022kkba．当1nk时，1342223kkkbbb(322)(2)023kkbb，又1132223223kb，∴1(322)(2)223kkkbbb2(322)(2)kb443(21)(2)ka412ka．也就是说，当1nk时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知342nnab，123n，，，…．作者简介：中学数学高级教师，四川省省级骨干教师、省级优秀教师，在《中学生理科月刊》、《数理报》等刊物发表论文20余篇.