巴特沃斯滤波器c语言

1.模拟滤波器的设计1.1巴特沃斯滤波器的次数根据给定的参数设计模拟滤波器，然后进行变数变换，求取数字滤波器的方法，称为滤波器的间接设计。做为数字滤波器的设计基础的模拟滤波器，称之为原型滤波器。这里，我们首先介绍的是最简单最基础的原型滤波器，巴特沃斯低通滤波器。由于IIR滤波器不具有线性相位特性，因此不必考虑相位特性，直接考虑其振幅特性。在这里，N是滤波器的次数，Ωc是截止频率。从上式的振幅特性可以看出，这个是单调递减的函数，其振幅特性是不存在纹波的。设计的时候，一般需要先计算跟所需要设计参数相符合的次数N。首先，就需要先由阻带频率，计算出阻带衰减将巴特沃斯低通滤波器的振幅特性，直接带入上式，则有最后，可以解得次数N为当然，这里的N只能为正数，因此，若结果为小数，则舍弃小数，向上取整。1.2巴特沃斯滤波器的传递函数巴特沃斯低通滤波器的传递函数，可由其振幅特性的分母多项式求得。其分母多项式根据S解开，可以得到极点。这里，为了方便处理，我们分为两种情况去解这个方程。当N为偶数的时候，这里，使用了欧拉公式。同样的，当N为奇数的时候，同样的，这里也使用了欧拉公式。归纳以上，极点的解为上式所求得的极点，是在s平面内，在半径为Ωc的圆上等间距的点，其数量为2N个。为了使得其IIR滤波器稳定，那么，只能选取极点在S平面左半平面的点。选定了稳定的极点之后，其模拟滤波器的传递函数就可由下式求得。1.3巴特沃斯滤波器的实现（C语言）首先，是次数的计算。次数的计算，我们可以由下式求得。其对应的C语言程序为[cpp]viewplaincopy1.N=Ceil(0.5*(log10(pow(10,Stopband_attenuation/10)-1)/2.log10(Stopband/Cotoff)));然后是极点的选择，这里由于涉及到复数的操作，我们就声明一个复数结构体就可以了。最重要的是，极点的计算含有自然指数函数，这点对于计算机来讲，不是太方便，所以，我们将其替换为三角函数，这样的话，实部与虚部就还可以分开来计算。其代码实现为[cpp]viewplaincopy1.typedefstruct2.{3.doubleReal_part;4.doubleImag_Part;5.}COMPLEX;6.7.8.COMPLEXpoles[N];9.10.for(k=0;k=((2*N)-1);k++)11.{12.if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N))0)13.{14.poles[count].Real_part=-Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));15.poles[count].Imag_Part=-Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));16.count++;17.if(count==N)break;18.}19.}计算出稳定的极点之后，就可以进行传递函数的计算了。传递的函数的计算，就像下式一样这里，为了得到模拟滤波器的系数，需要将分母乘开。很显然，这里的极点不一定是整数，或者来说，这里的乘开需要做复数运算。其复数的乘法代码如下，[cpp]viewplaincopy1.intComplex_Multiple(COMPLEXa,COMPLEXb,2.double*Res_Real,double*Res_Imag)3.4.{5.*(Res_Real)=(a.Real_part)*(b.Real_part)-(a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);6.*(Res_Imag)=(a.Imag_Part)*(b.Real_part)+(a.Real_part)*(b.Imag_Part);7.return(int)1;8.}有了乘法代码之后，我们现在简单的情况下，看看其如何计算其滤波器系数。我们做如下假设这个时候，其传递函数为将其乘开，其大致的关系就像下图所示一样。计算的关系一目了然，这样的话，实现就简单多了。高阶的情况下也一样，重复这种计算就可以了。其代码为[cpp]viewplaincopy1.Res[0].Real_part=poles[0].Real_part;2.Res[0].Imag_Part=poles[0].Imag_Part;3.Res[1].Real_part=1;4.Res[1].Imag_Part=0;5.6.for(count_1=0;count_1N-1;count_1++)7.{8.for(count=0;count=count_1+2;count++)9.{10.if(0==count)11.{12.Complex_Multiple(Res[count],poles[count_1+1],13.&(Res_Save[count].Real_part),14.&(Res_Save[count].Imag_Part));15.}16.elseif((count_1+2)==count)17.{18.Res_Save[count].Real_part+=Res[count-1].Real_part;19.Res_Save[count].Imag_Part+=Res[count-1].Imag_Part;20.}21.else22.{23.Complex_Multiple(Res[count],poles[count_1+1],24.&(Res_Save[count].Real_part),25.&(Res_Save[count].Imag_Part));26.1Res_Save[count].Real_part+=Res[count-1].Real_part;27.Res_Save[count].Imag_Part+=Res[count-1].Imag_Part;28.}29.}30.*(b+N)=*(a+N);到此，我们就可以得到一个模拟滤波器巴特沃斯低通滤波器了。2.双1次z变换2.1双1次z变换的原理我们为了将模拟滤波器转换为数字滤波器的，可以用的方法很多。这里着重说说双1次z变换。我们希望通过双1次z变换，建立一个s平面到z平面的映射关系，将模拟滤波器转换为数字滤波器。和之前的例子一样，我们假设有如下模拟滤波器的传递函数。将其做拉普拉斯逆变换，可得到其时间域内的连续微分方程式，其中，x(t)表示输入，y(t)表示输出。然后我们需要将其离散化，假设其采样周期是T，用差分方程去近似的替代微分方程，可以得到下面结果然后使用z变换，再将其化简。可得到如下结果从而，我们可以得到了s平面到z平面的映射关系，即由于所有的高阶系统都可以视为一阶系统的并联，所以，这个映射关系在高阶系统中，也是成立的。然后，将关系式带入上式，可得到这里，我们可以就可以得到Ω与ω的对应关系了。这里的Ω与ω的对应关系很重要。我们最终的目的设计的是数字滤波器，所以，设计时候给的参数必定是数字滤波器的指标。而我们通过间接设计设计IIR滤波器时候，首先是要设计模拟滤波器，再通过变换，得到数字滤波器。那么，我们首先需要做的，就是将数字滤波器的指标，转换为模拟滤波器的指标，基于这个指标去设计模拟滤波器。另外，这里的采样时间T的取值很随意，为了方便计算，一般取1s就可以。2.2双1次z变换的实现（C语言）我们设计好的巴特沃斯低通滤波器的传递函数如下所示。我们将其进行双1次z变换，我们可以得到如下式子可以看出，我们还是需要将式子乘开，进行合并同类项，这个跟之前说的算法相差不大。其代码为。[cpp]viewplaincopy1.for(Count=0;Count=N;Count++)2.{3.for(Count_Z=0;Count_Z=N;Count_Z++)4.{5.Res[Count_Z]=0;6.Res_Save[Count_Z]=0;7.}8.Res_Save[0]=1;9.for(Count_1=0;Count_1N-Count;Count_1++)10.{11.for(Count_2=0;Count_2=Count_1+1;Count_2++)12.{13.if(Count_2==0)Res[Count_2]+=Res_Save[Count_2];14.elseif((Count_2==(Count_1+1))&&(Count_1!=0))15.Res[Count_2]+=-Res_Save[Count_2-1];16.elseRes[Count_2]+=Res_Save[Count_2]-Res_Save[Count_2-1];17.for(Count_Z=0;Count_Z=N;Count_Z++)18.{19.Res_Save[Count_Z]=Res[Count_Z];20.Res[Count_Z]=0;21.}22.}23.for(Count_1=(N-Count);Count_1N;Count_1++)24.{25.for(Count_2=0;Count_2=Count_1+1;Count_2++)26.{27.if(Count_2==0)Res[Count_2]+=Res_Save[Count_2];28.elseif((Count_2==(Count_1+1))&&(Count_1!=0))29.Res[Count_2]+=Res_Save[Count_2-1];30.else31.Res[Count_2]+=Res_Save[Count_2]+Res_Save[Count_2-1];32.}33.for(Count_Z=0;Count_Z=N;Count_Z++)34.{35.Res_Save[Count_Z]=Res[Count_Z];36.Res[Count_Z]=0;37.}38.}39.for(Count_Z=0;Count_Z=N;Count_Z++)40.{41.*(az+Count_Z)+=pow(2,N-Count)*(*(as+Count))*42.Res_Save[Count_Z];43.*(bz+Count_Z)+=(*(bs+Count))*Res_Save[Count_Z];44.}45.}到此，我们就已经实现了一个数字滤波器。3.IIR滤波器的间接设计代码（C语言）[cpp]viewplaincopy1.#includestdio.h2.#includemath.h3.#includemalloc.h4.#includestring.h5.6.7.#definepi((double)3.1415926)8.9.10.structDESIGN_SPECIFICATION11.{12.doubleCotoff;13.doubleStopband;14.doubleStopband_attenuation;15.};16.17.typedefstruct18.{19.doubleReal_part;20.doubleImag_Part;21.}COMPLEX;22.23.24.25.intCeil(doubleinput)26.{27.if(input!=(int)input)return((int)input)+1;28.elsereturn((int)input);29.}30.31.32.intComplex_Multiple(COMPLEXa,COMPLEXb33.,double*Res_Real,double*Res_Imag)34.35.{36.*(Res_Real)=(a.Real_part)*(b.Real_part)-(a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);37.*(Res_Imag)=(a.Imag_Part)*(b.Real_part)+(a.Real_part)*(b.Imag_Part);38.return(int)1;39.}40.41.42.intButtord(doubleCotoff,43.doubleStopband,44.doubleStopband_atte