投资学(高级教程)(05)-无风险投资

5无风险资产----借入与贷出5.1无风险投资的引入无风险投资指购买由政府或银行担保发行的债券（如国库券）而进行的投资活动。无风险投资收益率是稳定的，标准差为零。当在风险证券组合中引入无风险投资时，其组合的期望收益率与风险之间的关系将发生有趣的变化。一种风险资产与一种无风险资产的组合记风险资产A的收益率为ra，R其期望收益率为Ra，标准差为Ra12%Aσa；无风险资产收益率为rf。假定Ra=12%，σa=18%，Prf=5%。则风险资产溢价为5%Ra-rf=7%。σa=18%σ风险资产与无风险资产的组合P的收益率为：rp=αra+(1-α)rf=5%+α(ra-5%)Rp=αRa+(1-α)rf=rf+α(Ra-rf)资产组合风险为：σp=ασa(或α=σp/σa)。组合投资期望收益率与标准差关系：Rp=rf+α(Ra-rf)=rf+(σp/σa)(Ra-rf)=(CAL方程)借入RaACAL贷出rfkσapafafrRr性质5.1：无风险投资与风险证券组合投资的再组合的风险（标准差），与再组合的期望收益率间呈线性关系。证明：设风险证券组合期望收益率为，其风险为σn，如图中的点N；引入的无风险投资收益率为Rf,则σf=0，如图中的点F。有设无风险投资与风险证券组合的再组合比例系数分别为βf和βn，有βf+βn=1，记再组合期望收益率为，有(5.1)nRnnffpRRRpRNPRfσpσnσRnRpR由于无风险投资的σf=0，则协方差σnf=σfn=0，再组合投资的风险σp满足下式：(5.2)有(5.3)将式(5.3)代入式(5.1),得(5.4)性质得证。npnfpnfnnnpfnppRRRRRR)1(222222000],[],[nnfnnfnfnffnnfnfnp性质5.2:(1)无风险投资与风险证券组合的再组合的方程直线与风险证券组合有效边界相切的切点(M)由下式确定：(5.5)变量定义同前。(2)当无风险投资与风险证券组合投资的再组合直线，与风险证券组合有效边界相切时，该再组合切线即为新的有效边界。)2(1222aRbRcbacbcRabRRmmmffm证明：(1)式(5.4)表示的直线的斜率为：(5.6)由性质4.5可知，风险证券组合有效边界可表示为：(5.7)式(5.7)两边对σ求，有(5.8)即(5.9)nfnnnRRdRdk)2(1222aRbRcbacdRd)(12dRdbdRdRcbacbRcbacdRd2MNPRfσpσmσnσRmRnRpR由性质5.1及式(5.6)知，上图中无风险投资(F)与风险证券组合的再组合直线与风险证券组合有效边界在M点相切时，满足：(5.10)(5.11)令式(5.7)中将式(5.7)与式(5.11)联立，解得(5.12)式(5.12)表示切点M坐标。mmfmmmmkRRbRcbacdRd2])([1222fmfmmbRRbcRRcbac,,mmRR)2(1222aRbRcbacbcRabRRmmmffm(2)对于一定的期望收益率，由式(5.5)知，再组合FM确定的风险为(5.13)由无风险投资与其它风险证券组合(N)的再组合FN确定的风险为(5.14)(5.15)由式(5.6)知，(5.16)mfmfppRRRRm)(nfnfppRRRRn)())(()()(fnnfmmfpppRRRRRRnm0222nfnnfnnnnnRRRRdRdddk式(5.4)所示直线的斜率随的增大而增大，切线FM斜率达最大值，且有(5.17)(5.18)式(5.18)说明，对于一定的期望收益率，再组合FM确定的投资风险最小，故再组合FM为新的有效边界，其解析式为：(5.19)证毕。0,fnnfnmfmRRRRRR)()(nmpp)(fpfmmpRRRR5.2引入无风险资产的最优资产组合不含无风险资产的资产组合选择引入无风险借贷的资产组合选择不同借贷利率条件下的资产组合选择风险厌恶型(贷出)的最优资产组合选择冒险型(借入)的最优资产组合选择中性(不借不贷)的最优资产组合选择思考问题：在均值-方差模型基础上引入无风险投资，若无风险投资收益率为常数，则无风险投资于风险组合资产的再组合，使组合资产选择转化为线性问题，使决策简明化。但利率的变化使常数条件消失，有效资产组合(边界)的线性特征变为非线性特征；企业借贷比例变化导致资本结构改变以及借贷利率的变化；投资风险也将改变，将使有效资产组合(边界)随之变化。如何确定资本结构变化、借贷利率变化条件下的有效资产组合(边界)？