投资学(高级教程)(07)-单指数与多因素模型

7单指数与多因素模型均值方差模型对组合投资收益与风险的关系及其优化给出了精确、有效的计算方法，其相关证券之间的协方差计算量较大，优化过程也比较复杂。人们希望寻找简明的方法计算、优化组合。这就是“指数模型”。7.1单指数模型系统风险与公司特有风险证券收益之间的协方差有正有负(正是因为负的协方差使组合投资的风险降低)，但相同的经济力量(因素)通使影响公司的经营状况，如：经济周期、利率、技术进步、劳动力成本、原材料等。这些因素的变化将导致证券市场收益率相应发生变化，使证券收益之间的协方差趋向于正。如果将这些相关经济因素综合成一个宏观经济引导棒，对证券市场产生影响。除此以外，证券收益的剩余不确定性均为公司所特有。则可以把证券的持有期收益可表示为：ri=Ri+mi+ei(7.1)其中，Ri为证券持有期初的期望收益，mi为证券持有期间非预期宏观因素对证券收益的影响，ei为非预期公司特有事件的影响。mi和ei均具有零期望值。由于不同企业对宏观经济因素影响由不同的敏感性，将mi分解成两个因子：mi=βiF,F为宏观因素非预测成分，βi为证券对对宏观经济事件的敏感度。则ri=Ri+βiF+ei(7.2)式(7.2)为证券收益的单指数模型。(常用Rm代F)股票持有期的超额收益：ri-rf=αi+βi(rm-rf)+ei或Ri=αi+βiRm+ei(7.3)证券i的收益率方差：(7.4)证券i,j的收益之间的协方差：(7.5)2222eimii2),(),(mjimjmijirrCovrrCov单指数模型估计RiSCLRm单指数模型与风险分散化Sharpe(1963)首先提出的单指数模型，从另一个角度说明了资产组合风险分散化。(WilliamF.Sharpe.Asimplifiedmodelofportfolioanalysis.ManagementScience,Jan.,1963)n个等权重资产组合的超额收益率为(7.6)则资产组合对市场的敏感程度为：(资产组合有：)niiniMiniiniiMiiniiniiipenRnneRnRnRwR1111111)1(1)(11niipn11niipniipenen111,1资产组合方差为：(7.7)其中，βp2σm2为系统风险，σ2(ep)为非系统风险。σp2σ2(ep)可分散风险βp2σm2系统风险n)(2222pMppe)(0)(1)()1()(22212neneneinip7.2利用单指数模型构造最佳投资组合利用拉格朗日乘子法确定n种证券有效组合W=(w1,w2,…,wn)T时，有下列方程：(7.8)其中，,()在单指数模型中，有：(7.9)将式(7.9)代入式(7.8)，有：niyyRRnjijijjiifi,,2,1,,12iiwy)2(fniiniiipRwRwR)1(1122222mjiijeimii或(7.10)求yi得：(7.11)式(7.11)两边同乘以βi，并对所有i求和得：(7.12)niyyyRRnjijmjijeiimiifi,,2,1,,12222niyyRRnjjjmieiifi,,2,1,122niyRRynjjjeimieifii,,2,1,1222njjjnieiminiieifiiniiyRRy11222121将其中的i转换为j,即：(7.13)求得：(7.14)将式(7.14)代入式(7.11)，得：(7.15)njjjnjejmjnjjejfjjnjjyRRy11222121)1/(1222121njejjmnjjejfjjnjjRRyniRRRRynjnjejjmjejfjmifieiii,,2,1)]1/([11222222用代入式(7.15)有：(7.16)标准化：(7.17)这就是利用单指数模型(SIM)求有效投资组合的方程。)1/(1122222*njnjejjmjejfjmRRCniCRRyifieiii,,2,1][*2iniiiniiiniiii111227.3CAPM与单指数模型从证券i的收益与市场指数收益之间的协方差分析公司特有的非系统因素独立于整个市场的系统因素，即Cov(RM,ri)，由此可导出证券i的超额收益率与市场指数的协方差为：(7.18)则(7.19)式(7.19)中单指数模型β系数与CAPM模型期望收益-β关系的β相同。2),(),(),(),(MiMiMMiMiMiMiReCovRRCovReRCovRRCov2),(MMiiRRCov单指数模型与期望收益-β关系(MichaelC.Jensen.Theperformanceofmutualfundsintheperiod1945-1964.JournalofFinance,1968,23(May))CAPM中，资产i与市场组合M的关系为：单指数模型为：其中：αi是资产i超过CAPM预测的期望收益部分。CAPM理论认为，均衡状态下αi为零。ifmfirRrR)(ifmifirRrR)(7.4多因素模型双因素模型多因素模型