抗震计算中几个问题的研究

抗震计算中几个问题的研究黄吉锋，李云贵，邵弘，陈岱林（中国建筑科学研究院，北京，100013）[摘要]从能量的角度对抗震计算中的一些问题进行了研究：提出了判断振型数足够与否的通用方法；提出最不利地震作用方向的概念，并具体给出了计算方法；从反应能的观点定义了振型方向角，并给出计算公式；借鉴ETABS程序定义了振型的侧振成分和扭振成分的计算公式，并给出了一个几何解释。上述成果已在PMSAP、SATWE和TAT结构分析程序中实现，应用效果良好。[关键词]参与能量比，广义有效质量系数，最不利地震作用方向，振型方向角，侧振成分，扭振成分[中图分类号]TU973+.31;TU973+.2[文献标识码]AResearchofSomeProblemsinStructuralEarthquakeAnalysisHUANGJi-feng；LIYun-gui；SHAOHong；CHENDai-lin(ChinaAcademyofBuildingResearch,Beijing,100013)[Abstract]Basedontheviewpointofstrainenergy,someproblemsinstructuralearthquakeanalysishavebeenresearchedinthispaper.Firstly,ageneralmethodofjudgingtheadequacyofthenumberofparticipationmodesisproposed.Secondly,theauthoradvancetheconceptof“themostdisadvantageousearthquakedirection”,onwhichadetailedalgorithmisgiven.Thenthedirectionangleofamodeisdefinedandthecorrespondingcalculationformulasarealsolisted.Atlast,thecalculationformulasofthelateralandthetorsionalvibratingcomponentsofamodeispresented.[Keywords]Ratioofparticipationenergy,Generalizedeffectivemassfactor,Themostdisadvantageousearthquakedirection,Directionangleofamode,Componentoflateralvibration,Componentoftorsionalvibration1.引言对结构进行地震反应谱分析，是建立在振型叠加法基础上的，它用结构在少数低阶振型上的反应的某种组合来近似代替结构的全部反应。之所以能够这样做，是因为地震反应的主要成分一般都包含在低阶振型所张成的子空间中，用不太多的参与振型，即可算得较为准确的解。然而在实际应用中，面对复杂工程，我们还是难以确知参与振型到底取多少才能使误差足够小。基于此，本文探讨的第一个问题就是：参与振型数与误差的关系。一般而言，沿着水平面的不同方向，建筑结构会表现出不同的刚度性质，这就意味着相同的地震沿着不同的方向作用于结构，结构反应的剧烈程度也会不同，我们有理由相信，一定存在某个作用方向，使得结构的地震反应在某种意义下最为剧烈，本文探讨的第二个问题就是：如何确定最不利地震作用方向。最后，振型的形式是我们了解结构刚度及质量分布性态的重要参考，本文对建筑结构振型方向的确定进行了研究，提出了一种新方法。同时，参考ETABS程序，给出同一振型中扭振成分和侧振成分的计算公式。2.参与振型数是否足够的判断：广义有效质量系数WILSONE.L.教授曾经提出振型有效质量系数的概念用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序，他的方法是基于刚性楼板假定的。现在不少结构因其复杂性需要考虑楼板的弹性变形，因此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法，下面述其详情：首先说明一些符号的含义：K：结构刚度矩阵；M：结构质量矩阵；j：第j振型，且满足质量归一化条件1jTjM；B：地震方向向量；),(TSa：加速度谱曲线；jjjT,,：第j周期、特征值、阻尼比；mn,：结构自由度数和参与振型数。根据地震反应谱理论，第j振型上的最大位移分量：jjjjaTjjTSMBX),(（1）相应的应变能：2222),(21jjdefTjjdefjjjjaTjjTjjqMBqTSMBKXX（2）根据振型关于刚度矩阵的正交性，整体结构的最大可能应变能可以写成如下解耦形式：njjjnjjqn121)(（3）设采用)(nmm个参与振型，我们可以定义参与能量比值：njjjmjjjqqnm1212)()(（4）显然10，振型数m足够多时，将足够接近1。因此可以作为衡量振型数是否足够的参数。遗憾的是)(n不易求出，直接使用有困难。为此我们考虑变通方式：首先，结合规范[1][2]给出的加速度谱，我们可以验证下式成立：0...21nqqq（5）这样一来，容易从数学上严格证明下式成立：*12121212)()(defnjjmjjnjjjmjjjqqnm（6）另一方面，我们把地震方向向量B在振型向量组],...,,[21n上展开,可得：B（7）这里，是B在主振型空间中的坐标向量，（7）式两边左乘MTj：),...,2,1(njMMBjjTjTj（8）由（7）、（8）两式我们有：niiTTTTMMBB12（9）将（9）式代入（6）式可以得到：mjjTMBB12*1（10）由于*是的下界，所以我们可以把*取为衡量振型数是否足够的参数，在地震计算中控制了*，就相当于控制了参与能量比值。根据我们的计算经验，当9.0*时，基底剪力误差一般小于5%。在这个意义上，我们称9.0*的情形为振型数足够；否则称振型数不够。*的计算公式（10），不仅适用于通常的能利用刚性楼板假定简化为糖葫芦串的规则的多、高层建筑结构，而且适用于任意的有限元离散结构，比如含有弹性楼板、弹性节点及大开洞的复杂多、高层结构；体育场馆、影剧院结构；大跨结构等等。由于*是通常的基于刚性楼板假定的有效质量系数的推广，方便起见，可以称其为广义有效质量系数。3.最不利地震作用方向地震沿着不同的方向作用，结构地震反应的大小一般也不同，我们可以用结构变形能来衡量地震反应的剧烈程度。结构变形能是地震作用方向角的函数，存在某个角度使得结构变形能取极大，那么这个方向我们就称为最不利地震作用方向。下面我们讨论如何确定这个方向。设参与振型取m个，则结构变形能：mjTjjmjjjmjjMBqq12121)(（11）设地震作用方向与X轴正向的夹角为α，那么地震方向向量B可以进一步表为：sincosyxBBB（12）这样一来：2121)sincos(21)sincos(21jmjjjdefyTjmjxTjjyxqMBMBq（13）令其导数为零：0)(2sin212cos1221mjjjjmjjjjyxqyxq（14）得到：mjjjjmjjjjyxqyxq1221)(22tan（15）由此可以确定出最不利地震作用方向角和2，并且容易验证，对任意：0)2()(2222（16）于是可以知道和2中一个使变形能取极大，则另一个必使变形能取极小。4.振型的方向对一个建筑结构而言，我们可以样来定义振型的方向：如果沿着角度作用的地震使得振型上有最大的反应能量，则称该方向角为振型的方向角。在此定义下，可以如下确定角度：222)sincos()sincos(),(yxqMBMBqMBqdefyTxTT（17）令对的偏导数为零：0)cossin()sincos(2yxyxq（18）得到：2222tanyxxy（19）由此可以确定为振型的方向角。5.振型的侧振、扭振成分及其几何解释一个振型的反应能量可以分拆成平动能量和转动能量，它们各自占总能量的比例我们称为侧振成分和扭振成分。下面的公式借鉴了ETABS程序振型方向因子的概念。侧振能量：)(2122iiiLvumE（20）扭振能量：221ziiTJE（21）侧振成分：TLLLEEEe（22）扭振成分：TLTTEEEe（23）当然也可以把侧振成分进一步分为x向侧振成分，y向侧振成分等，道理一样。上述公式中，ziiiiivuJm,,,,分别是节点的质量、惯性矩、x向位移,y向位移和扭转角。显然，侧振成分与扭振成分之和为1.0,如果某振型的侧振成分大于0.8,我们就认为该振型是比较纯粹的侧振振型,如果某振型的扭振成分大于0.8,我们就认为该振型是比较纯粹的扭转振型。对上述公式，还可以给出一个几何上的解释：简单起见，考虑一个采用刚性楼板假定的单层结构，其质心位移为zvu,,，此时刚性板的运动可以看成一个定轴转动（视平动为转动中心无穷远），设转动中心与楼层质心之间的距离为d,那么侧振能量和扭振能量分别为：2222221)(21)(21zzLmddmvumE（24）221zTJE（25）二者比值：2222rdmJdJmdEETL（26）其中，mJr是楼层回转半径。这样我们就给出了判断振型成分的一个几何解释：如果刚性楼板的转动中心与其质心之间的距离d大于其回转半径r，那么相应振型的侧振成分大于其扭振成分，是侧振振型；如果刚性楼板的转动中心与其质心之间的距离d小于其回转半径r，那么相应振型的侧振成分小于其扭振成分，是扭振振型。6.算例为了直观地说明上文中提到的有关抗震计算的各个概念，下面给出一个算例。例一、某10层对称L型平面的框架结构，平面布置如图1所示，各跨跨度均为3m，层高均为3.3m。柱尺寸0.6m*0.6m，布置于每个交叉点，梁尺寸0.3m*0.7m。材料均为C25混凝土。图1结构平面示意图(A).广义有效质量系数*与结构地震反应计算结果的关系表1中列出了地震反应谱分析中参与振型数由1个增加至30个的过程中，广义有向质量系数*以及相关结构反应的变化情况，从计算数据来看，当*超过90%时，结构的基底剪力及楼层位移的计算结果，随振型数的增加变化很小，基本趋于稳定,这也从一个侧面说明了为什么在地震反应谱分析中，应控制有效质量系数超过90%。此外还有一点值得指出：在采用CQC组合的地震反应谱分析中，当参与振型数不足时，结构反应的计算结果与理论解之间，并无一定的大小关系，也可以说，随着振型数的增多，计算结果趋于理论解的过程可能是振荡的，通过考察CQC组合公式，这一现象不难解释。表1*与结构地震反应计算结果的关系参与振型数*（%）剪重比（%）位移角最大顶部位移(mm)124.330.981/248010.291380.733.091/29498.569589.863.181/29098.595691.583.201/29178.5891096.033.221/29178.5891598.283.231/29178.58930100.03.231/29168.589(B).最不利地震作用方向本例算出的最不利地震作用方向为45度，从而形成沿（45度，135度）作用的一对地震作用正交轴，它与沿（0度，90度）正交轴作用的地震计算结果的对比，列在表2中。沿最不利地震方