抛物线教案

抛物线知识梳理：1抛物线的定义，标准方程，2抛物线的几何性质3直线与抛物线的位置关系二、新课讲授：（一）定义：（学生理解椭圆双曲线第二定义提问学生，由学生归纳出抛物线定义，若学生程度较差，教师讲解。）平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。概念理解：平面内有——(1)一定点F——焦点(2)一条不过此点（给出的定点）的定直线l——准线探究：若定点F在定直线l上，那么动点的轨迹是什么图形？（是过F点与直线l垂直的一条直线——直线MF，不是抛物线）(3)动点到定点的距离|MF|(4)动点到定直线的距离d(5)|MF|=d满足以上条件的动点M的轨迹——抛物线（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）：１、要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M||MF|=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？［教师引导］建立适当的直角坐标系应遵循的两点原则：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。］过焦点F作准线l的垂线交l于点K，启发学生思考回答问题：（1）如何确定x轴（或y轴）？（以对称轴为坐标轴）由抛物线的几何特征知KF是抛物线的对称轴。（2）如何确定坐标原点？（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点。（3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？［教师引导］通过不同位置的二次函数解析式的对比，联想抛物线如何建系。让学生大胆发言，谈谈自己的观点（教师要积极鼓励学生引导学生）取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。２、开口向右的抛物线标准方程的推导;（教师引导得出结论）步骤:过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与直线l相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设焦点到准线的距离｜ＫＦ｜=p（p0）那么，焦点Ｆ的坐标为（0）,准线l的方程为x=-设抛物线上的任一点M（x,y），点M到直线l的距离为d根据定义，抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}因为222ypxMF，2pxd，所以2222pxypx将上式两边平方并化简，得)0(22ppxy（1）方程（１）的推导过程表明，抛物线上的点的坐标都是这个方程式的解。还可以证明，以方程（１）的解为坐标的点都在此抛物线上。我们把方程)0(22ppxy叫做抛物线的标准方程。3.（引导分析）标准方程y2=2px(p0)的特点：（用代数方法——几何问题）p的几何意义：焦点到准线的距离焦点：（p/2,0）在x轴的正半轴上准线：x=-p/2顶点：坐标原点（０，０）开口方向：向右4、让同学们类比写出不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程5、让学生对这抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同：（新知识点之间通过对比较才能找出它们的异同点，从而真正掌握它们）相同点：1、原点在抛物线上；2、对称轴为坐标轴；3、p值的意义：（重点）（１）表示焦点到准线的距离；（２）p0为常数;（３）p值等于一次项系数绝对值的一半；4、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４，即2p/4=p/2.不同点：方程对称轴开口方向焦点位置X2=2py(p0)x轴向右X轴正半轴上X2=-2py(p0)x轴向左X轴负半轴上Y2=2px(p0)y轴向上Y轴正半轴上Y2=-2px(p0)y轴向下Y轴负半轴上（讲解例题A并完成针对训练）（三）抛物线几何性质我们根据抛物线的标准方程)0(22ppxy来研究它的几何性质。（通过类比椭圆与双曲线的几何性质，从范围、对称性、顶点、离心率方面研究抛物线的几何性质，）1、范围：0x2、对称性：关于x轴对称抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3、顶点：（0，0）抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的的顶点。4、离心率：e=1抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由学生归纳总结出其他三种标准方程的几何性质，完成表格。标准方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）X2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）图象范围x≥0x≤0y≥0y≤0焦点坐标F（p2，0）F（－p2，0）F（0，p2）F（0，－p2）顶点坐标O（0，0）O（0，0）O（0，0）O（0，0）离心率e＝1e＝1e＝1e＝1对称轴x轴x轴y轴y轴xyOFxyOFxyOFxyOF准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2焦半径|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2p的几何意义抛物线的焦点到准线的距离，p越大张口就越大通径过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径，其长为2p补充说明：1、抛物线只位于半个平面坐标内，虽然他可以无限延伸但他没有渐近线。抛物线只有一条对称轴，没有对称中心1、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线2、抛物线的离心率是确定的且为1问题：椭圆的圆扁程度、双曲线的张口大小由e的大小决定，那么抛物线的开口大小由什么决定？在同一坐标系中让学生画出下列抛物线的草图：（1）xy212（2）xy2（3）xy22（4）xy42结论：抛物线标准方程中的P越大，开口越开阔。探究问题：在抛物线的标准方程中2p的几何意义？通径的定义：通过焦点且垂直对称轴的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫抛物线的通径。通径的长度：2P焦半径定义：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径焦半径公式：|PF|＝x0＋p2（讲解例题B并完成针对训练）（四）直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系的判定：联立直线:lykxm和抛物线22(0)ypxp消y整理得：2222()0kxkmpxm当0a时0直线与抛物线相交，有两个不同公共交点0直线与抛物线相切，只有一个公共交点0直线与抛物线相离，没有公共交点当0a时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切(2)若直线与抛物线相交于1122(,),(,)AxyBxy，则弦长2212121()4ABkxxxx或21212211()4AByyyyk，特别注意解题时结合韦达定理来处理问题2.焦点弦问题：设过抛物线)0(22ppxy的焦点(,0)2pF的直线与抛物线交于),(),,(1111yxByxA，直线与的斜率分别为21,kk，直线的倾斜角为，则有①221pyy；②4221pxx；③421kk；④221sin2ppxxAB，⑤cos1pFA，cos1pFB；⑥112AFBFp，⑦过,AB两点做准线的垂线，垂足分别为,MN,则090MFN,⑧通径PAB2；⑨以弦AB长为直径的圆总与准线相切（讲解例题C并完成针对训练）【归纳小结】二：例题讲解A：1考点:抛物线的定义与标准方程[例1]已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为针对训练1.已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,),4,3(Axy82MFMAM点坐标是()A.B.C.D.例2(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程（解题过程教师要板书，注意版面条理，简洁，做好起到示范作用）解：（1）p＝3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2，0），准线方程是x＝－3/2．（3）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且4,22pp，所以抛物线的标准方程是yx82针对训练2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=41；（3）焦点到准线的距离是2。。B:例3：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过(222)M，，求它的标准方程。解：因为抛物线关于X轴对称，他的顶点在原点，并且经过点M（２，22），所以可设他的标准方程为022ppxy因为点M在抛物线上，所以22)22(2p即p=2因此所求方程是xy42针对训练3.已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过(222)M，，求它的标准方程。C例4.抛物线C:x4y2，直线L过点P(0,1)，若L与C只有一个公共点，)0,0()62,3()4,2()62,3(求直线L的方程。（答案：0x或1y或1xy）变式练习4：已知直线l：1ykx和抛物线28yx（1）若直线l与抛物线有两个公共点，求k的取值范围（2）若直线l与抛物线只有一个公共点，求k的取值范围（3）若直线l与抛物线没有公共点，求k的取值范围中点弦问题例5.求抛物线xy82被点P(-1,1)平分的弦所在直线方程及弦长.小结：对于中点弦问题，在抛物线中通常利用点差法可得到直线斜率，中点及P三者之间的关系变式练习5：1已知抛物线26yx，求过点(0,1)的直线被抛物线所截得弦中点的轨迹方程弦长问题例6.过抛物线x2y2的焦点作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点，则线段AB的长是多少？（答案：4）变式练习6：已知抛物线xy42截直线bxy2所得的弦AB的长为53，P是其对称轴上一点，若S△PAB=39，求P点的坐标。【P（15，0）或（-11，0）】课后练习1、已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为。（41,－1）2、直线3yx与抛物线24yx交于,AB两点，过,AB两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,PQ，则梯形APQB的面积为。483、已知双曲线22145xy，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为。4、已知椭圆C1:22143xy,抛物线C2:2()2(0)ympxp,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(1)当AB⊥x轴时,求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；(2)是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由.解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，23）或（1，－23）.因为点A在抛物线上，所以p249，即89p.此时C2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB上.（2）解法一当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为)1(xky.由134)1(22yxxky消去y得01248)43(2222kxkxk.……①设A、B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝22438kk.因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121xxxxAB，且1212()()22ppABxxxxp.从而121214()2xxpxx.所以12463pxx，即22846343kpk.解得6,62kk即.因为C2的焦点),32(mF在直线)1(xky上，所以km31.即3636mm或.当36m时，直线AB的方程为)1(6xy；当36m时，直线AB的方程为)1(6xy.解法二当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为)1(xky.由)1(38)(2xkyxmy消去y得xmkkx38)(2.……①因