抛物线与平行四边形教学设计

初中九年数学教学设计课题：抛物线与平行四边形教师导学：教师将26题代几综合题的常见考点带着学生梳理，提炼解题策略。本节课目标导学：点动、线动、面动构成的问题称为动态题．近几年来中考26题多是二次函数与几何图形相结合的代几综合题。（一）常见考点:（1）确定二次函数解析式（2）与动点有关的存在性问题（直角、等角、等腰三角形、直角三角形、等腰三角形全等三角形、相似三角形、特殊四边形等）（3）函数类最值问题（4）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想）本节课主要解决与动点有关的平行四边形问题的研究方法和策略（二）解题策略：动点（线、面）→画出符合条件的静态图形→设出关键点坐标→由点坐标表示线段长→建立模型（方程）→解方程求解符合条件的点坐标→验证符合题意教学目标1.学生经历课上对简单动点问题的讲习，理解平行四边形的性质和判定，对简单动点问题的解题方法有初步的理解；2.经历较复杂背景下，动点问题的求解方法解题策略的归纳提升；3.在自主解题和师生探究的学习过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等主要数学思想方法在解题中的应用，体会探索数学的乐趣。重点已知平行四边形两个定点确定第三个点和第四个点。难点运用图形的性质和判定寻找运动中的特殊位置，利用方程思想、分类讨论思想解决平行四边形的动点问题。教学过程设计问题与情境师生行为设计意图问题1、如图，抛物线与x轴交A(-1,0)、B（3,0）两点，与y轴交于点C,顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一动点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出M点的坐标.教师展示问题，学生研究方法，有思路的同学讲解，缕顺思路后，每组选一名同学到黑板板演，教师巡视，点拨。通过此题的研究，让学生体会已知确定的两点，和第三点的横坐标，求抛物线上第四点坐标的方法。巩固、抛物线cbxaxy2交x轴于点A（-3,0）、B（1,0），交y轴于点E(0,-3).点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M.N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标。问题2、如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．教师展示问题，学生通过对题意的理解，解决问题。教师展示问题,观察此题与上两题的不同之处是此题知道两点坐标，和第三点的纵坐标，借助点G的横坐标来求点F的横坐标。学生在教师引导下，探究解决问题。此题与问题1属同一题型，通过练习，加深对这一发法的理解运用。培养学生的能力。此题是抛物线与平行四边形问题中的典型题，具有代表性。检测;1、抛物线223yxx与y轴交于C点，与x轴交于A,B两点，点P（1，K）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A,M,N,P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由。2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式（2）若点P时抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标小结研究已知确定的两点，求第三个点或第四个点坐标的平行四边形问题，主要是抓住已知线段为对角线或已知线段为边，分情况讨论。作业：学生独立完成如果学生掌握较快，就进行否则，作为课后探究。师生互动、生生互动，总结本节知识点以及形成的能力教师归纳展示本节课知识体会解题策略，个别学生梳理，讲解分析，教师归纳动点问题的研究策略：关键点坐标——线段长——构建方程——解方程——验证巩固方法，熟练运用。通过检查了解学生对本节知识掌握情况培养学生变式能力通过学生自己、同学间、师生间互动较全面的归纳本节课的收获。学生基本能在学生层面解决，教师针对学生问题进行归纳提升，分类问题，分类的标准，借助手中的尺子，动中取静。必做题5道选做题2道课下完成。使不同程度的学生都能得到不同程度的训练和提高。课后作业必做题1、已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B，若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O，C，D，B四点为顶点的四边形为平行四边形，则D点的坐标为．2．如图，抛物线y=（x-1）（x-5）交x轴于A、B两点，P为顶点，四边形ABCP是平行四边形，则经过P、B、C三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式为．第2题第3题3．如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）求抛物线顶点M关于x轴对称的点M′的坐标，并判断四边形AMBM′是何特殊平行四边形．（不要求说明理由）4．经过点A（-4，5）的抛物线y=-x2+bx+5与y轴交于点B．点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，且以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．则点N的坐标为．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．选做题6．如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（-2、0）B（2、4）两点，与x轴的另一交点为D，点P（x、y）是线段AB上的一个动点，过P点的直线PQ⊥x轴，与抛物线相交于点Q．（1）求b、c的值（2）求线段PQ长度的最大值（3）当PQ的长度取最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N的横坐标），使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图，直线3xy与x轴交于点C，与y轴交于点A，点B的坐标为（2，3),抛物线cbxxy2经过A,C两点。（1）求抛物线的解析式，并验证点B是否在抛物线上。（2）点P在直线AC上，点Q在抛物线cbxxy2上，是否存在P,Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形使平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由。抛物线中动点构成平行四边形的专题1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（─1，0），B（3，0），C（0，─1）三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标.CBAOxy2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（─4，0），B（0，─4），C（2，0）三点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=─x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，写出相应的点Q的坐标.3.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB在x轴的负半轴上，边OC在y轴正半轴上，且AB=1，OB=3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A、E、D.（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P、点Q，使以点O、B、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由.二次函数与平行四边形【例1】（2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；CBAOxyDEFCBAOxy（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2011广东）如图，抛物线1417452xxy与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.【例3】（2010茂名）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线cbxaxy2经过点A、B两点，且13ba．（1）求a，b，c的值；（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为t秒，EBF的面积为S．①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．【例4】(2011河源)如图1，已知抛物线243yxx与x轴交于两点A、B，其顶点为C．(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】（2012恩施）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．