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1抛物线中的面积问题适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域通用课时时长（分钟）60知识点二次函数的应用。学习目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.学习重点抛物线中的面积问题及最值问题.学习难点如何利用一元二次函数的图像性质来解决实际问题题.2学习过程一、复习预习利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值.3二、知识讲解考点1二次函次图象的平移二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。4考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的交点。（1）与y轴永远有交点（0，c）（2）在b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，A（x1，0）、B（x2，0）这两点距离为AB＝|x1－x2|，（x1、x2是ax2＋bx＋c＝0的两个根）。在b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点。在b2－4ac＜0时，则抛物线与x轴没有交点。5考点3求二次函数的最大值常见的有两种方法：（1）直接代入顶点坐标公式（abacab44,22）。（2）将y＝ax2＋bx＋c配方，利用非负数的性质进行数值分析。两种方法各有所长，第一种方法过程简单，第二种方法有技巧。6三、例题精析考点一动点在直线上，利用平行线，通过等积变形建立函数模型．例1已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．.7【规范解答】（1）抛物线的解析式为（2）连接AD，∵∴，∴即，∴∴∴==\∴当=1时，8考点二动点在抛物线上动，构建平行线，通过等积变形建立方程模型．例2如图5，二次函数的图象与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出最大面积.9【规范解答】（1）函数表达式为．（2）因S△ABC=6，∴当△BPC的面积最大时，四边形ABPC的面积最大．作PQ∥BC交y轴于点Q，则S△BPC=S△BQC，△BQC高OB为定值，所以当PQ平移到使得CQ取得最大值时，△BQC的面积最大，此时直线PQ和抛物线恰好一个公共点．设直线PQ：，得方程，当△=时，，m=，∴S△BQC=．10考点三抛物线中的探索性问题例3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．11【规范解答】（1）将B、C两点的坐标代入2=++yxbxc，得93=0,=3.bcc解之，得=2,=3.bc所以二次函数的解析式为2=23yxx.（2）如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形POPC为菱形，连接PP交CO于点E．∵四边形POPC为菱形，∴PC=PO，且PE⊥CO．∴OE=EC=32，即P点的纵坐标为32.……5分由223xx=32，得12210210==22xx，（不合题意，舍去）所以存在这样的点，此时P点的坐标为（2102，32）.ACBOPyxP′E第25题图112（3）如图2，连接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N．设P点坐标为（x，223xx），由223xx=0，得点A坐标为（－1，0）.∴AO=1，OC=3，OB=3，PＭ=223xx，PN＝x．∴S四边形ABPC=AOCS+POBS+POCS=12AO·OC+12OB·PM+12OC·PN=12×1×3+12×3×(223xx)+12×3×x=239622xx=23375()228x.易知，当x=32时，四边形ABPC的面积最大．此时P点坐标为（32，154），四边形ABPC的最大面积为758.ABO·Pyx第25题图2(备用)CNM13考点四抛物线中的综合应用题例4一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）14【规范解答】解：（1）设y1＝mx＋n，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1），∴05.1502.1nmn解得：m＝－350，n＝5.1，∴y1＝－350x＋5.1（0≤x≤50）．（2）又由题目已知条件可设y2＝a（x－25）2＋2．因其图象过点（15，3），∴3＝a（15－25）2＋2，∴a＝1100，∴y2＝1100x2－12x＋334（或y＝1100（x－25）2＋2）（0≤x≤50）（3）设第x天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y1－y2＝－1100（x2－44x＋315）（0≤x≤55）．依题意：y1－y2＝0，即x2－44x＋315＝0，∴（x－9）（x－35）＝0，解得：x1＝9，x2＝35．所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱。15四、课堂运用【基础】1、已知点A（0，－6），B（－3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）．162、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030…y（件）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？173、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx图象交于A（－2，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．184、某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．（1）分别求出当x≤40和x≥40时y与x之间的关系式；（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？19【巩固】1、在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－334，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．xyOBCEFA202、抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．CBAOEFxyDG21【拔高】1、如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）．（1）求抛物线的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．OABxy-6-93222、在平面直角坐标系中，直线y＝－3x－3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2－332x＋c（a≠0）经过点A、C，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P是抛物线上一点，且△ABP为直角三角形，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在点Q，使得△QBD的周长最小，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．yBOACDx23课程小结