抛物线练习题1

15．AB是过抛物线y2＝4x焦点F的弦，已知A，B两点的横坐标分别是x1和x2，且x1＋x2＝6则|AB|等于（）（A）10（B）8（C）7（D）6答案：B7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，如果AB与x轴成45°角，那么|AB|等于（）。（A）10（B）8（C）6（D）4答案：B10．抛物线x2＝4y的焦点为F，A是抛物线上一点，已知|AF|＝4＋22，则AF所在直线方程是。答案：x－y＋1＝0或x＋y－1＝014.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）。（A）2.5（B）5（C）7.5（D）10答案：B15.过点F(0,3)且和直线y＋3=0相切的动圆圆心的轨迹方程是（）。（A）y2=12x（B）y2=－12x（C）x2=12y（D）x2=－12y答案：C16.已知点P(4,m)是抛物线y2=2px(p0)上一点，F是抛物线焦点，且｜PF｜＝5，则抛物线方程是（）。（A）y2=x（B）y2=4x（C）y2=2x（D）y2=8x答案：B17.动点P到直线x＋4=0的距离比到定点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹是（）。（A）直线（B）圆（C）抛物线（D）双曲线答案：C18.抛物线y=－8x2的准线方程是（）。（A）y=321（B）y=2（C）y=41（D）y=4答案：B20.“直线l平行于抛物线的对称轴”是“直线l与抛物线仅有一个交点”的（）条件。（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）不充分不必要条件答案：A24.抛物线x2=4y上一点P到焦点F的距离为3，则P点的纵坐标为（）。（A）3（B）2（C）25（D）－2答案：B25.不论α取任何实数，方程2x2cosα＋y2=1所表示的曲线一定不是（）。（A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（D）圆答案：C31.与圆(x＋1)2＋y2=1外切且与y轴相切的动圆的圆心轨迹方程为（）。（A）y2=－4x(x0)（B）y=0(x0)（C）y2=－4x(x0)和y=0(x0)（D）y2=－2x－1(x－1)答案：C32.若AB为抛物线y2=4x的弦且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|＝（）。（A）13（B）13（C）6（D）4答案：B234.已知点(－2,3)与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离是5，则抛物线的方程是。答案：y2=8x36.点P在抛物线y2=－x上运动，点Q与点P关于点(1,1)对称，则点Q的轨迹方程是。答案：y2=4y＋x－637.若抛物线的顶点是双曲线x2－3y2=1的中心，且准线与双曲线的右准线重合，则抛物线的焦点坐标为。答案：(－21,0)提示：双曲线中，a=1,b2=3,右准线为x=21,则抛物线的顶点是(0,0),准线方程是x=21,∴焦点坐标是(－21,0)38.已知点P是抛物线y2=16x上的一点，它到对称轴的距离为12，则|PF|＝。答案：13提示：抛物线的对称轴是y=0,P点的坐标是(x0,12),x0=9,焦点为F(4,0),∴|PF|=1339.抛物线y2=4x上的点P到焦点的距离为5，则P点的坐标为。答案：(4,4),(4,－4)提示：|PF|=5,∴P点的横坐标为4，P点坐标是(4,4),(4,－4)40.抛物线y2=4x与椭圆x2＋2y2=20的公共弦长是。答案：42提示：联立方程组y2=4x与x2＋2y2=20，解得x2＋8x－20=0,x1=－10(舍)，x2=2,∴两个交点分别是(2,22),(2,－22),弦长为4241.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，且|AB|＝43，则焦点到AB的距离为。答案：2提示：弦AB垂直于x轴，A、B关于x轴对称，设A(x1,23),解得x1=3,焦点F(1,0)到AB:x=3的距离是242.设抛物线y=ax2(a0)和直线y=kx＋b(k≠0)有两个交点，其横坐标分别为x1,x2，而直线y=kx＋b(k≠0)与x轴的交点横坐标为x3，则x1,x2,x3之间的关系是。答案：x1x2=x3(x1＋x2)提示：抛物线y=ax2(a0)和直线y=kx＋b(k≠0)联立，得ax2－kx－b=0,x1＋x2=ak,x1x2=－ab,直线y=kx＋b(k≠0)与x轴的交点横坐标为x3，x3=－kb,∴x1x2=x3(x1＋x2)43.若AB为抛物线y2=2px(p0)的焦点弦，l是抛物线的准线，则以AB为直径的圆与l的公共点的个数是。答案：1个提示：设A(x1,y1),B(x2,y2),A、B两点到准线的距离和为|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|＝|AB|,∴AB的中点到准线的距离为21|AB|，∴以AB为直径的圆与准线l相切，交点个数为144.已知抛物线y2=6x过点P(4,2)的弦的两个端点作点P被平分，求这条弦所在直线方程。答案：3x―2y―8＝0提示：设相交弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=6x1,y22=6x2,两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)=6(x1－x2),y1＋y2=4,∴3k=2121xxyy=23,∴直线的方程是y－2=23(x－4),3x―2y―8＝045.抛物线y=ax2(a0)的焦点坐标为（）。（A）(0,－a41)（B）(0,a41)（C）(－4a,0)（D）(4a,0)答案：B46.直线y=x＋23被抛物线x2=2y截得的弦长为（）。（A）41（B）29（C）42（D）25答案：C47.已知定点A(3,2)，F是抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的动点，当|PA|＋|PF|最小时，点P的坐标为（）。（A）(0,0)（B）(1,2)（C）(2,2)（D）(21,1)答案：C提示：由P点作准线的垂线PD，D为垂足，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PD|,当P、A、D三点共线时，|PA|＋|PD|最小，此时P点坐标为(2,2)48.已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(m,－2)，到焦点的距离为4，则m等于（）。（A）4（B）－2（C）±4（D）±2答案：C提示：设抛物线方程是x2=－2py,m2=4p,∴抛物线方程是x2=－21m2x,抛物线上的点(m,－2)到焦点的距离是4，则到准线的距离也是4，∴8m2＋2=4,m=±449.M为抛物线x2=y上一动点，以OM为边作一正方形MNPO，则动点P的轨迹方程是（）。（A）y2=x（B）y2=－x（C）y2=±x（D）x2=±y答案：C提示：设P点坐标是(x,y),M点坐标是(x0,y0),且OM⊥OP，|OM|=|OP|,解得x02=y2,y02=x2,把x0,y0代入到x2=y中得y2=±x50.若AB为抛物线y2=2px(p0)的焦点弦，且A1,B1分别为A,B在准线上的射影，则∠A1FB1等于（）。（A）90°（B）60°（C）45°（D）30°答案：A提示：直角梯形四边形AA1B1B中，AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1，且AA1＝AF，BB1＝BF，∴∠A1FB1＝90°51.抛物线y2=－8x中，以(－1,1)为中点的弦的方程是（）。（A）x─4y─3=0（B）x＋4y＋3=0（C）4x＋y－3=0（D）4x＋y＋3=0答案：D提示：设相交弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=－8x1,y22=－8x2,两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)=－8(x1－x2),y14＋y2=2,代入得k=－4，∴弦的方程是4x＋y＋3=052.点M到直线y＋5=0的距离跟它到点F(0,4)的距离之差等于1，则点M的轨迹是（）。（A）直线（B）抛物线（C）双曲线（D）椭圆答案：B53.以抛物线x=5y2与圆x2＋y2－2x=0的交点为顶点的多边形面积为（）。（A）59（B）527（C）259（D）2527答案：D提示：联立方程组x=5y2与x2＋y2－2x=0,解得交点坐标是(0,0),(59,±53),∴S△=252754.抛物线y=4x2的准线方程是（）。（A）x=－1（B）y=－1（C）x=－161（D）y=－161答案：D55.动点P(x,y)与两个定点(－1,0),(1,0)的连线的斜率之积为a，则P点的轨迹一定不是（）。（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线答案：D56.过抛物线y2=8x上一点P(2,－4)与抛物线仅有一个公共点的直线有（）。（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条答案：B提示：一条是切线，另一条是过P点平行于对称轴的直线，即y=257.已知抛物线x2=4y的焦点F和点A(－1,8)，点P为抛物线上一点，则|PA|＋|PF|的最小值为（）。（A）16（B）6（C）12（D）9答案：D提示：由P点作准线的垂线PD，D为垂足，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PD|,当P、A、D三点共线时，|PA|＋|PD|最小，最小值是A点到准线的距离|AD|=9题目：58.抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且点(－5,25)在抛物线上，则抛物线的方程为（）。（A）y2=－4x（B）x2=5y（C）y2=－4x或x2=255y（D）x2=－4y答案：C提示：设抛物线的方程是y2=－2px或x2=2qy,将点(－5,25)的坐标分别代入求得p=4与q=255,∴抛物线的5方程是y2=－4x或x2=255y题目：59.已知双曲线y2－x2=1与抛物线y2=(k－1)x有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）。（A）k=－1或3（B）k=1或k=－3（C）－1k3（D）k－1或k3答案：A提示：联立方程组y2－x2=1与y2=(k－1)x，消去y得x2－(k－1)x＋1=0,△=0,解得k=3或k=－1题目：60.若动圆与定圆(x＋2)2＋y2=4相外切，且与直线x=2相切，则动圆的圆心轨迹方程为（）。（A）y2=12(x－1)（B）y2=－12(x－1)（C）y2=－8x（D）y2=8x答案：B提示：设动圆圆心坐标为P(x,y)，半径为r，定圆(x＋2)2＋y2=4圆心为M(－2,0),半径是2，则|PM|=2＋r，P点到直线x=2的距离是r,∴P点到直线x=4的距离是r＋2,即P点轨迹是以(－2,0)为焦点，x=4为准线的抛物线，∴轨迹方程是y2=－12(x－1)题目：61.抛物线y2=2px的内接△AOB的重心恰是抛物线的焦点，则AB所在的直线方程是（）。（A）x=2p（B）x=43p（C）x=3p（D）x=4p答案：B提示：∵抛物线y2=2px的内接△AOB的重心恰是抛物线的焦点，∴2p30xx21,30yy21=0,∴y1=-y2,x1=23p－x2,且x1=x2,∴x1=43p,直线方程是x=43p题目：62.若AB为抛物线y2=2px(p0)的动弦，且|AB|=a(ap)，则AB的中点M到y轴的最近距离是（）。（A）21a（B）21p（C）21a＋21p（D）21a－21p答案：D提示：设动弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),则x0＋21p=21(x1＋21p＋x2＋21p)=21p＋21(x1＋x2),当A、B、F三点共线时，即x1＋x2=a－p时，值为最小，此时M点到y轴的距离为x0=21a－21p题目：63.PQ为经过抛物线y2=2px(p0)的焦点的任意一条弦，MN为PQ在准线上的射影，PQ绕准线旋转一周所得的旋转面面积为S1，以MN为直径的球面面积为S2，则下列结论正确的是（）。（A）S1S2（B）S1≥S2（C）S1S2（D）不确定答案：B提示：S1=π(|PM|＋|NQ|)PQ,S2=π|MN|2,|PM|＋|NQ|≥|PQ|,|PQ|≥|MN|,∴S1≥S2题目：64.抛物线y=4x2上的点到直线y=4x－5的最近距离是。答案：171746题目：65.抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线x－y＋2=0上，则抛物线的方程是。答案：x2=8y或y2=－8x提示：焦点有两种可能，即焦点为(－2,0)或(0,2),∴抛物线的方程是x2