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第9999章宏观计量经济学模型IIII：单变量时间序列•引言•平稳性与单位根检验•ARMAARMAARMAARMA过程§§§§9.19.19.19.1引言一、常见的数据类型二、为什么要专门讨论时间序列问题？•经典计量经济模型常用到的数据有：–时间序列数据（time-seriesdata)；–截面数据(cross-sectionaldata)–平行////面板数据（paneldata/time-seriescross-sectiondata)•时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。一、常见的数据类型•数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“——“——“——“一致性””””要求————————被破怀。•数据非平稳，往往导致出现““““虚假回归””””（SpuriousSpuriousSpuriousSpuriousRegressionRegressionRegressionRegression）问题。–表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性。–例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。–Hendry(1980)举例:降雨量与UK的通胀率有很强的相关性1111、经典回归分析离不开一个重要假设：数据是平稳的。二、为什么要专门讨论时间序列问题？时间序列往往是非平稳的，因此采用时间序列数据，需时间序列往往是非平稳的，因此采用时间序列数据，需时间序列往往是非平稳的，因此采用时间序列数据，需时间序列往往是非平稳的，因此采用时间序列数据，需要专门计论相关问题。要专门计论相关问题。要专门计论相关问题。要专门计论相关问题。2222、预测的需要经典回归模型在预测时可能会遇到各种问题：迄今为止，对一个时间序列Xt的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称为结构式模型（structuralmodelstructuralmodelstructuralmodelstructuralmodel）。然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。时间序列分析模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论。时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。§§§§9.29.29.29.2平稳性与单位根检验一、时间序列数据的平稳性二、时间序列平稳性的单位根检验三、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程一、时间序列数据的平稳性假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程随机过程随机过程(stochasticprocess)生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1,2,…）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到。如果任意的组合(xt1,xt2,…xtm)的联合分布与(xt1+h,xt2+h,…,xtm+h)对任何h≥1都相同，则称则称该随机时间序列是严格严格严格严格平稳的平稳的平稳的平稳的（strictlystationary)，而该随机过程是一平稳随机过程。严格平稳严格平稳严格平稳严格平稳要求：（1）{Xt：t=1,2…}是同分布的（也是截面数据的要求）（2）任意组合，如(x1,x2)的联合分布与(xt,xt+1)相同，即不随时间而改变。1111、平稳性的概念、平稳性的概念、平稳性的概念、平稳性的概念有时，我们可能更关心一个时间性序列的期望、方差、协方差，只要它们与时间无关（无需联合分布与时间无关），则称为方差平稳方差平稳方差平稳方差平稳或弱平稳弱平稳弱平稳弱平稳(weakstationary)：1）均值E(Xt)=µ是与时间t无关的常数；2）方差Var(Xt)=σ2是与时间t无关的常数；3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=γk是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数；由于严格平稳要求联合分布与时间的变动无关（不仅仅是1、2阶矩），因此条件更强一些。但在联合正态分布在联合正态分布在联合正态分布在联合正态分布下下下下，其联合分布特征完全由1、2阶矩决定，因此严格平稳严格平稳严格平稳严格平稳与弱平稳是等价的与弱平稳是等价的与弱平稳是等价的与弱平稳是等价的。例（白噪声）．一个最简单的随机时间序列是一具有零均零均零均零均值值值值、、、、同方差同方差同方差同方差的独立同分布独立同分布独立同分布独立同分布序列：Xt=εt，εt~N(0,σ2)例（随机游走）．随机游走随机游走随机游走随机游走(randomwalk))))的随机过程：Xt=Xt-1+εt这里，εt是一个白噪声白噪声白噪声白噪声(以后特记εt为白噪声）。该序列常被称为是一个白噪声白噪声白噪声白噪声（whitenoise）。一个一个一个一个白噪声白噪声白噪声白噪声序列是序列是序列是序列是平稳的平稳的平稳的平稳的（why?)。易知:均值：E(Xt)=E(Xt-1)，方差？X1=X0+ε1X2=X1+ε2=X0+ε1+ε2……………………Xt=…………=X0+ε1+ε2+…+εtVar(Xt)=tσ2随机游走随机游走随机游走随机游走的方差与时间t有关，它是一是一是一是一非平稳序列非平稳序列非平稳序列非平稳序列。然而，对随机游走随机游走随机游走随机游走序列{Xt}取一阶差分（firstdifferencefirstdifferencefirstdifferencefirstdifference）:∆Xt=Xt-Xt-1=εt由于εt是一个白噪声，则序列{∆Xt}是平稳的。后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列例例例例（AR(1)模型模型模型模型）1阶自回归阶自回归阶自回归阶自回归AR(1)过程为Xt=θXt-1+εt期望：E(Xt)=θE(Xt-1)方差：Var(Xt)=θ2Var(Xt-1)+σε2协方差：Cov(Xt,Xt-1)=E[(θXt-1+εt)Xt-1]=θVar(Xt-1)Cov(Xt,Xt-k)=E[(θkXt-k+θk-1εt-1+…θεt-1+εt)Xt-k]=θkVar(Xt-k)这里εt的白噪声性必然使E(Xtεt-j)=0,j≥1如果AR(1)平稳，则必有：E(Xt)=0;Var(Xt)=σε2/(1-θ2);Cov(Xt,Xt+k)=θk⋅σε2/(1-θ2);由方差的非负性，必有AR(1)平稳性条件：|θ|1注意：（1）随机游走随机游走随机游走随机游走是AR(1)模型θ=1时的特例，它显然是非平稳的（2）AR(1)又是如下PPPP阶自回归模型阶自回归模型阶自回归模型阶自回归模型AR(P)的特例：Xt=θ1Xt-1+θ2Xt-2…+θkXt-k考虑pppp阶自回归过程阶自回归过程阶自回归过程阶自回归过程AR(p)Xt=θ1Xt-1+θ2Xt-2+…+θpXt-p+εt(*)记θ(L)=(1-θ1L-θ2L2-…-θpLp),则称多项式方程θ(z)=(1-θ1z-θ2z2-…-θpzp)=0为AR(p)的特征方程特征方程特征方程特征方程(characteristicequationcharacteristicequationcharacteristicequationcharacteristicequation)可以证明::::如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于大于大于大于1111），），），），则则则则AR(pAR(pAR(pAR(p))))模型是平稳的模型是平稳的模型是平稳的模型是平稳的。(*)式变换为(1−θ1L−θ2L2−…−θpLp)Xt=εt引入滞后算子（lagoperatorlagoperatorlagoperatorlagoperator）LLLL：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p2222、、、、AR(P)AR(P)AR(P)AR(P)过程的平稳性过程的平稳性过程的平稳性过程的平稳性对高阶自回模型AR(p)AR(p)AR(p)AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)(1)(1)(1)AR(p)AR(p)AR(p)AR(p)模型稳定的必要条件是：θ1+θ2+…+θp1(2)由于θi(i=1,2,…p)可正可负，AR(p)AR(p)AR(p)AR(p)模型稳定的充分条件是：|θ1|+|θ2|+…+|θp|1如，如，如，如，对于AAAAR(1)过程Xt=θXt-1+εt或(1-θL)Xt=εt特征方程特征方程特征方程特征方程1-θZ=0的根为：Z=1/θAR(1)平稳时必有|θ|1，因此根的模：|Z|=1/|θ|1二、时间序列平稳性的单位根检验对于一时间序列来说，检验它的平稳性异常重要。如果知道它是由AR(P)随机过程生成的，则可通过求AR(P)过程对应的特征方程的特征根来判断该时间序列是否是平稳的。但现实的问题是，我们并不事先知道自回归的阶数，因此无法写出特征方程的具体形式；而当时间序列的生成过程并非是AR(P)过程时（如MA过程），就更不能采用上述方法来判断时间序列的平稳性了。单位根检验法单位根检验法单位根检验法单位根检验法((((unitroottest))))，提供了一种适用于所有数据生成有机制的时间序列平稳性的判别方法。1111、、、、DFDFDFDF检验检验检验检验已知：随机游走序列Xt=Xt-1+εt是非平稳的，其中εt是白噪声。该序列可看成是随机过程AR(1)中参数θ=1时的情形：Xt=θXt-1+εt因此，对式Xt=θXt-1+εt（*）做回归，如果发现θ=1，称随机变量Xt有一个单位根。（*）式变形为差分形式：∆Xt=(θ-1)Xt-1+εt=δXt-1+εt(**)检验θ=1⇔检验δ=0一般地:检验一个时间序列检验一个时间序列检验一个时间序列检验一个时间序列XXXXtttt的平稳性，可通过检验带有截距项的平稳性，可通过检验带有截距项的平稳性，可通过检验带有截距项的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型的一阶自回归模型的一阶自回归模型的一阶自回归模型XXXXtttt====αααα++++θXXXXt-1t-1t-1t-1++++εtttt（****）中的参数θ是否小于1111来进行。或者：检验其等价变形式∆∆∆∆XXXXtttt====αααα++++δδδδXXXXt-1t-1t-1t-1++++εtttt（**）中的参数δδδδ是否小于0。检验过程：针对式（********）H0：δ=0，H1：δ0通过OLS回归，进行t检验然而，在原假设原假设原假设原假设（存在单位根存在单位根存在单位根存在单位根，即序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也不服从标准的t分布，而是向下偏倚的，通常的t检验无法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为ττττ统计量），即DFDFDFDF分布。检验规则：针对∆∆∆∆XXXXtttt====αααα++++δδδδXXXXt-1t-1t-1t-1++++εtttt中的参数δδδδ，如果：tttt临界值，则拒绝原假设HHHH0000：δδδδ=0=0=0=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的认为时间序列不存在单位根，是平稳的认为时间序列不存在单位根，是平稳的认为时