清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于

第4讲基于偏好的需求决定需求的边际方程需求映射的可微性收入效应与替代效应需求映射的特征21确定需求的边际方程消费者需求的决定：效用最大化利用效用函数u(x)表达：maxu(x)s.tpx=ru(x)=p利用拉格朗日乘数法求解：Rs.t.px=r定理设消费集合X满足假设HC，偏好满足假设HP，效用函数u(x)满足假设HU，p0，rI(p)及xXº，为消费者的需求映射。则有下述事实：(x=(p,r))(0)((u(x)=p)&(px=r))边际方程：——求解需求x=(p,r)。rpupupxxx)()(1131.1例：线性支出系统问题：消费者收入较高，应对基本生活开支绰绰有余，如何将多余收入用在各种商品的消费上？分析：假定共有种商品，并且消费者认为这些商品的额外消费在提高效用水平方面的作用分别为1,2,,(这些i都是大于零的常数)。基本生活需要：=(1,2,,)0消费集合：X={xR|x}i的意义：i=(xii)MUi/TU——商品i的额外消费所增加的效用占总效用的比例，其中MUi为商品i的边际效用，TU为总效用。这正表达了增加商品i的消费在提高效用水平方面所起到的作用大小。41.1.1导出效用函数消费者的效用函数U(x)的推导首先利用效用函数U(x)来表达i：i=(xii)Ui/U(x)。求解微分方程1=(dU/dx1)[(x11)/U]可得：求解2=(d1/dx2)[(x22)/1]可得：求解=(d1/dx)[(x)/1]可得：结果：最终形式：21212221121)),,()(())(,,()(1xxxxxxxUx3232333223221)),,()(())(,,(),,(2xxxxxxxxx)()(1xcx0)1,,1,1()()()()(21221121UcxxxcUx),,2,1()(where)ln()ln()ln()(21222111iaxaxaxauiix51.1.2求解边际方程先求导数：边际方程：求解：支出是价格和收入的线性函数——线性支出系统支出分配：消费者把多余收入按照比例ai分配在商品i的消费上。需求函数：),,2,1()()(ixauiiiixrxpxpxpipxaiiii2211),,2,1()()()(111pμrxpaiiiiii)(1pμr)(pμrapapxpiiiiiiii),,2,1(),(iprarxiiiiipμp61.2边际方程的意义与作用消费者均衡：效用最大的选择，即消费者需求。边际方程给出了消费者实现均衡的基本法则边际替代法则：边际替代率=市场交换率MRSij=ui/uj：边际替代率——消费者为增加一单位商品i而愿意放弃的商品j的数量。EXRij=pi/pj：市场交换率——消费者为增加一单位商品i而实际放弃的商品j的数量。边际效用法则：各项消费支出的边际效用均等均等法则：把一单位收入不论用于增加哪种商品的消费，所增加的效用都是相等的。拉氏乘数：均衡时货币收入的边际效用——增加一单位支出所增加的效用。72需求函数的可微性可微性：精打细算——即使因素微小变动，也要能够精确掌握其影响大小。效用最大化带来需求的可微性：即使价格或收入发生微小变动，效用最大化也要让消费者精挑细选，精打细算，精确掌握由此产生的对个人需求的影响，这就意味着需求函数理应是可微的。需求可微性问题研究思路：需求函数是边际方程确定的隐函数，可从隐函数存在定理来提出需求可微所要求的条件，并找出该条件的经济意义。8①对任何xU，都有Fi(x,(x))=0(i=1,2,,n)；②；③在U内连续可微(i=1,2,,n)。定理设在点附近，函数Fi(x,y)连续可微，，并且雅克比矩阵可逆。则存在的邻域和的领域，存在唯一的映射(即)满足：2.1隐函数存在定理nmnmRRyyxx),,,,,(),(11yx),,2,1(0),(niFiyxxmRUy))(,),(),(()(21xxxxynnRVVU:),,2,1(),,,()(.i.e),(21nixxxmiiixyxy),(2122212121112121),,,(),,,(),(yxyxnnnnnnnnyFyFyFyFyFyFyFyFyFyyyFFFJ)(xi92.2边际方程的雅克比矩阵边际方程：雅克比矩阵J=J(p,r,x,)0)()()(0)(),,,,(),,,,(11212211xxxppxpxJuuuuxxxrpupupuTT0),,2,1(0)(pxxripuii结论：只要J可逆，需求映射(p,r)就可微。看来，我们需要研究让J可逆所需的条件及其经济意义。102.3保证雅克比矩阵可逆的条件效用函数u(x)强拟凹：是指对任何xX，海森矩阵(Hessianmatrix)u(x)都在切空间(x)上负定。切空间：(x)={zR|zu(x)=0}在切空间上负定：z(x)，z0，都有zu(x)z0。定理A.在假设HC、HU下，u(x)强拟凹当且仅当在任何点xX处，都可逆。定理B.在假设HU下，如果u(x)强拟凹，则对任何xX及实数0，都可逆。T0)()()(xxxuuuT0)()()(xxxuuuT112.4可微的需求强拟凹性保证了边际方程的雅克比矩阵可逆，从而需求函数连续可微。这就得到如下定理。定理(需求的可微性)假定假设HC、HP、HU成立并且效用函数u(x)强拟凹。则需求映射(p,r)连续可微(p0&rI(p))。强拟凹性的经济意义：效用最大化二阶充分条件强拟凹的效用函数是严格拟凹的。效用最大化二阶必要条件：u(x)在(x)上半负定。效用最大化二阶充分条件：u(x)在(x)上负定。需求可微性是效用最大化的自然要求，故强拟凹性并不是什么苛刻条件，是理性偏好自然会具备的性质。122.4强拟凹性的几何意义效用最大化点x是效用函数u在切线T(x)上的最大值点，故u(x)在(x)上是半负定的(微积分知识)。u(x)在(x)上负定，这是让x成为u在切线T(x)上的最大值点的充分条件。强拟凹性是关于偏好的性质：若u与v等价，则u强拟凹当且仅当v强拟凹。pu(x)=切空间(x)切线T(x)u(x)x133收入与价格变动对需求的影响假定：假设HC、HP、HU全成立，并且消费者的效用函数u(x)强拟凹。收入与价格变动收入变动：dr价格变动：引起需求变动需求：x=(p,r)需求变动：拉氏乘数变动：dTpppppp)ddd(dddd2121pxxxxxxTddd)ddd(d2121x143.1需求变动方程边际等式：将x=(p,r)代入边际方程后得到的恒等式，即rxpxpxpipuii2211),,2,1()(x(dx,d)与(dp,dr)的关系：边际等式全微分rxueirpxxpippxuTjjjjjiijjijdddddd..ddd21ddd11pxpppxxx)(),,,()(需求变动矩阵方程：上述方程的矩阵形式(E表示单位阵)ruTdd1dd0pxExppx0)(153.1.1斯勒茨基矩阵u强拟凹&u(x)=p&0可逆令，令S=ZSlutsky’smatrix：S=(sij)=(sij)斯勒茨基系数：sij基本事实：Sp=0，zp=1。0)(ppxTu10)(ppxzzZTTuT100)()(0)(EzppxzZppzxZppxzzZTTTTTuuu1and0havewetherefore1&0zppzpZpTTTS，163.1.2斯勒茨基方程求解需求变动矩阵方程Slutsky’sequation：rrrrrruTTTTTTTTdd)(dd)(dddddd10dd100)(dd1pxzzpxzSpxzzxzSpxzzxzZpxEzzZpxEppxxrrTTdd)(ddd)(dpzxzpxzSx173.1.3需求变动的导数公式微分公式：导数公式：斯勒茨基系数的导数表示rTTdd)(dzpxzSxTTjiijTzzzrxzs21zxxzSpx),,2,1,(jizrxxzspxiijiijji),,2,1,(jirxxpxsijjiij即183.2变动效应分析实际收入变动：drxdp名义收入变动：dr价格变动引起的实际收入水平变动：xdp收入效应：纯由实际收入变动引起的需求变动。收入效应率：x/r收入效应=(drxdp)x/r替代效应：纯粹由价格变动引起的需求变动。总效应：总效应收入效应：从总效应中扣除收入效应后，剩余部分便只能归因于商品替代，即为替代效应。替代效应=dx(drxdp)x/r=SdprrrTxpxpSpxzpSx)dd(d)dd(dd193.2.1斯勒茨基矩阵的意义实际收入不变时的总效应实际收入不变：drxdp=0，记作u=const。总效应：dx=Sdp+(drxdp)x/r=Sdp(替代效应)结论：S=(x/p)|u=const，即sij=(xi/pj)|u=const斯勒茨基系数sij的意义：替代效应率sij=(xi/pj)|u=const=xi/pj+xjxi/r意义：商品j的价格上涨一单位，引起商品i的需求增加xi/pj单位，但也让实际收入减少xj单位。为了让实际收入不变，给消费者补贴xj单位收入，这让商品i的需求进一步增加xjxi/r单位，最后总增加sij单位。可见，sij代表替代效应率——实际收入不变条件下商品i的价格上涨一单位引起的商品j的需求增加量。20例.3.2.2需求映射的替代矩阵替代矩阵：鉴于斯勒茨基系数sij的替代效应率意义，斯勒茨基矩阵S被称为需求映射x=(p,r)的替代矩阵，并且S=x/p+(x/r)x。替代矩阵S的性质对称性：S=S，即sij=sji(i,j=1,2,,)半负定：(wR)(wSw0)，从而sij0