布里渊区的选取

电子科技大学光电信息学院课程设计论文课程名称固体与半导体物理题目名称布里渊区的选取学号290530101429053010152905301016姓名李雄风寿晓峰陈光楠指导老师刘爽起止时间2011.10.1-2011.10.152011年10月1日布里渊区的选取摘要本文着重介绍了布里渊区的选取。首先，本文给出了倒格子和布里渊区的相关概念；随后，本文以一维的简单格子、二维的有心长方格子、三维的面心立方格子和体心立方格子为例，详细说明了布里渊区的选取过程；最后，本文介绍了制作面心立方格子和体心立方格子的第一布里渊区的实物模型的方法（附上实物模型）。一、相关概念介绍1.1倒格子假设晶格原胞基失为a1⃑⃑⃑、a2⃑⃑⃑⃑和a3⃑⃑⃑⃑，则对应的倒格子原胞基失为b1⃑⃑⃑⃑、b2⃑⃑⃑⃑和b3⃑⃑⃑⃑，它们满足如下关系：{b1⃑⃑⃑⃑=2πΩ(a2⃑⃑⃑⃑×a3⃑⃑⃑⃑)b2⃑⃑⃑⃑=2πΩ(a3⃑⃑⃑⃑×a1⃑⃑⃑)b3⃑⃑⃑⃑=2πΩ(a1⃑⃑⃑×a2⃑⃑⃑⃑)其中Ω=a1⃑⃑⃑∙(a2⃑⃑⃑⃑×a3⃑⃑⃑⃑)为原胞体积。b1⃑⃑⃑⃑、b2⃑⃑⃑⃑和b3⃑⃑⃑⃑是不共面的，因而由b1⃑⃑⃑⃑、b2⃑⃑⃑⃑和b3⃑⃑⃑⃑也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子。倒格子原胞基失也可以通过下式来定义（在处理一维和二维问题时我们将用到它）：bi⃑⃑⃑∙aj⃑⃑⃑=2πδij={2π当i=j0当i≠ji,j=1,2,3倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。倒格子是描述晶体结构周期性的另一种类型的格子，它是在波矢空间的数学表示，它的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，因此可将晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。尤其是下面介绍的布里渊区，就是在倒格子下定义的。倒格子与布里渊区有着非常紧密的联系。在正格子空间中，正格子原胞体积等于威格纳-赛兹原胞体积；在倒格子空间中，倒格子原胞体积则等于第一布里渊区的体积。1.2布里渊区在倒格子空间中，以某一倒格点为原点，从原点出发作所有倒格点的位置矢量Kh⃑⃑⃑⃑的垂直平分面，这些平面把倒格子空间划分成一些区域，这些区域称为布里渊区。其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，以此类推，第n个布里渊区是从原点出发，跨过（n-1）个垂直平分面的所有区域的集合。由于布里渊区界面是某倒格矢Kh⃑⃑⃑⃑的垂直平分面，如果用k⃑表示从原点出发，端点落在Kh⃑⃑⃑⃑的垂直平分面上的矢量，则其必满足方程：k⃑∙Kh⃑⃑⃑⃑=12Kh2(1)对于布里渊区的边界方程（1）式，有如下说明：k⃑从原点出发，端点落在Kh⃑⃑⃑⃑的垂直平分面上，由于k⃑∙Kh⃑⃑⃑⃑=kKhcosθ，而k⃑的端点落在Kh⃑⃑⃑⃑的垂直平分面上必须有kcosθ=12Kh，所以可以得出布里渊区边界方程为：k⃑∙Kh⃑⃑⃑⃑=12Kh2。其中，Kh⃑⃑⃑⃑称为倒格矢，其满足Kh⃑⃑⃑⃑=h1b1⃑⃑⃑⃑+h2b2⃑⃑⃑⃑+h3b3⃑⃑⃑⃑，b1⃑⃑⃑⃑、b2⃑⃑⃑⃑和b3⃑⃑⃑⃑为倒格子基矢，h1、h2和h3为任意整数；k⃑为任意波矢，其满足k⃑=kxi+kyj+kzk⃑，i、j和k⃑是倒格子空间的单位正交基矢，kx、ky和kz为倒格子空间的三个坐标量。由此，便可根据边界方程（1）式得出各个中垂面满足的方程，最终求出各个布里渊区。各布里渊区体积相等，都等于倒格子的原胞体积。布里渊区具有周期性，每个布里渊区的各个部分，经过平移适当的倒格矢Kh⃑⃑⃑⃑以后，可以使一个布里渊区与另一个布里渊区重合。每个布里渊区都是以原点为中心对称分布的。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布拉格反射，对于电子德布罗意波，这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上产生不连续变化。根据这一特点，1930年L.-N.布里渊首先提出用倒格子矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。选取布里渊区的步骤：（1）利用正格子基矢求出倒格子基矢；（2）通过倒格子基矢写出倒格矢Kh⃑⃑⃑⃑；（3）利用边界方程式（1）求出中垂面的方程；（4）距离原点最近的中垂面所围成的区域即为第一布里渊区，次近的中垂面和最近的中垂面所围成的区域则为第二布里渊区……以此类推，便可求得各个布里渊区。二、布里渊区选取举例2.1一维情况举例在一维的情况下，简单格子只有一种类型，而所有的复式格子都可以通过基元的选择转化为简单格子，因此，只要以晶格常数为a的一维晶格为例求解布里渊区即可。（1）求倒格子基矢：晶格常数为a的一维晶格的原胞基失为a1⃑⃑⃑=ai设倒格子基矢为b1⃑⃑⃑⃑，则由a1⃑⃑⃑∙b1⃑⃑⃑⃑=2π易知：b1⃑⃑⃑⃑=2πai（2）写出倒格矢：在倒格子空间中任取一个倒格点作为原点建立坐标系，则该空间中任意倒格点的位置均可由其对应的倒格矢给出：Kh⃑⃑⃑⃑=h1b1⃑⃑⃑⃑=2πah1ih1=0,±1,±2,…（3）求边界方程：设倒格子空间中的任意波矢为：k⃑=kxi根据边界方程式（1）有：2πakxh1=12(2πah1)2距原点最近的两个倒格点的倒格矢为：Kh⃑⃑⃑⃑=±2πai求得其对应的两条中垂线方程为：kx=±πa由此即可确定第一布里渊区；距原点次近的两个倒格点的倒格矢为：Kh⃑⃑⃑⃑=±πai求得其对应的两条中垂线方程为：kx=±2πa由此可确定第二布里渊区；……以此类推，可以确定各个布里渊区。（4）画出布里渊区：各个布里渊区如图2-1所示。图2-1一维简单格子的布里渊区2.2二维情况举例以二维有心长方晶格为例，设其晶格常数分别为a和b，且令b=2a，则该晶格与其晶胞和原胞如图2-2所示。图2-2二维有心长方晶格示意图（1）求倒格子基矢：由图2-1易知，正格子的原胞基矢为：a1⃑⃑⃑=aia2⃑⃑⃑⃑=12ai+aj设倒格子基矢为b1⃑⃑⃑⃑和b2⃑⃑⃑⃑，由其定义，有：{a1⃑⃑⃑∙b1⃑⃑⃑⃑=2πa2⃑⃑⃑⃑∙b1⃑⃑⃑⃑=0{a1⃑⃑⃑∙b2⃑⃑⃑⃑=0a2⃑⃑⃑⃑∙b2⃑⃑⃑⃑=2π由此解得倒格子基矢为：b1⃑⃑⃑⃑=2πai−πajb2⃑⃑⃑⃑=2πaj（2）写出倒格矢：在倒格子空间中任取一个倒格点作为原点建立直角坐标系，则倒格子基矢b1⃑⃑⃑⃑和b2⃑⃑⃑⃑分别如图2-2所示，该空间中任意倒格点的位置均可由其对应的倒格矢给出：Kh⃑⃑⃑⃑=h1b1⃑⃑⃑⃑+h2b2⃑⃑⃑⃑=2πah1i+πa(2h2−h1)jh1,h2=0,±1,±2,…（3）求边界方程：设倒格子空间中的任意波矢为：k⃑=kxi+kyj容易找到，距离原点最近的6个倒格点的倒格矢为：Kh⃑⃑⃑⃑=±2πai±πajKh⃑⃑⃑⃑=±2πaj于是利用（1）式，可以求得距离原点最近的6条中垂线方程为：2kx+ky=±5π2a2kx−ky=±5π2aky=±πa距离原点次近的6个倒格点的倒格矢为：Kh⃑⃑⃑⃑=±2πai±3πajKh⃑⃑⃑⃑=±πai再次利用（1）式，可以求得距离原点次近的6条中垂线方程为：kx=±2πa2kx+3ky=±13π2a2kx−3ky=±13π2a……以此类推，可以由近到远地求出各个倒格点所对应的中垂线方程，即布里渊区的边界方程。（4）画出布里渊区：根据求得的中垂线方程以及布里渊区的划分原则，我们可以在倒格子空间中将布里渊区表示出来，图2-3给出了一些布里渊区的示意图。图2-3倒格子空间和布里渊区2.3三维情况举例2.3.1面心立方格子设面心立方的晶格常数为a，则有：（1）求倒格子基矢：面心立方的正格子基矢为：a1⃑⃑⃑=a2(j+k⃑)a2⃑⃑⃑⃑=a2(k⃑+i)a3⃑⃑⃑⃑=a2(i+j)设倒格子基矢分别为b1⃑⃑⃑⃑、b2⃑⃑⃑⃑和b3⃑⃑⃑⃑，则由其定义，有：{b1⃑⃑⃑⃑=2πa1⃑⃑⃑∙(a2⃑⃑⃑⃑×a3⃑⃑⃑⃑)(a2⃑⃑⃑⃑×a3⃑⃑⃑⃑)=2πa(−i+j+k⃑)b2⃑⃑⃑⃑=2πa1⃑⃑⃑∙(a2⃑⃑⃑⃑×a3⃑⃑⃑⃑)(a3⃑⃑⃑⃑×a1⃑⃑⃑)=2πa(i−j+k⃑)b3⃑⃑⃑⃑=2πa1⃑⃑⃑∙(a2⃑⃑⃑⃑×a3⃑⃑⃑⃑)(a1⃑⃑⃑×a2⃑⃑⃑⃑)=2πa(i+j−k⃑)（2）写出倒格矢：在倒格子空间中任取一个倒格点作为原点建立直角坐标系，则该空间中任意倒格点的位置均可由其对应的倒格矢给出：Kh⃑⃑⃑⃑=h1b1⃑⃑⃑⃑+h2b2⃑⃑⃑⃑+h3b3⃑⃑⃑⃑=2πa(h2+h3−h1)i+2πa(h1−h2+h3)j+2πa(h1+h2−h3)k⃑h1,h2,h3=0,±1,±2,…（3）求边界方程：设倒格子空间中的任意波矢为：k⃑=kxi+kyj+kzk⃑容易找到，距离原点最近的8个倒格点的倒格矢为：Kh⃑⃑⃑⃑=2πa(±i±j±k⃑)距离原点次近的6个倒格点的倒格矢为：Kh⃑⃑⃑⃑=±πaiKh⃑⃑⃑⃑=±πajKh⃑⃑⃑⃑=±πak⃑于是利用（1）式，可以求得这14个倒格矢的中垂面方程为：±kx±ky±kz=3πakx=±2πaky=±2πakz=±2πa（4）画出布里渊区：上面所求得的14个中垂面刚好围成了面心立方的第一布里渊区，它是一个被截去顶角的正八面体，而且可以证明，截去顶角后的八个正三角形面变成了八个正六边形面，如图2-4所示。图2-4面心立方的第一布里渊区2.3.2体心立方格子设体心立方的晶格常数为a，则有：（1）求倒格子基矢：体心立方的正格子基矢为：a1⃑⃑⃑=a2(−i+j+k⃑)a2⃑⃑⃑⃑=a2(i−j+k⃑)a3⃑⃑⃑⃑=a2(i+j−k⃑)设倒格子基矢分别为b1⃑⃑⃑⃑、b2⃑⃑⃑⃑和b3⃑⃑⃑⃑，则由其定义，有：{b1⃑⃑⃑⃑=2πa1⃑⃑⃑∙(a2⃑⃑⃑⃑×a3⃑⃑⃑⃑)(a2⃑⃑⃑⃑×a3⃑⃑⃑⃑)=2πa(j+k⃑)b2⃑⃑⃑⃑=2πa1⃑⃑⃑∙(a2⃑⃑⃑⃑×a3⃑⃑⃑⃑)(a3⃑⃑⃑⃑×a1⃑⃑⃑)=2πa(k⃑+i)b3⃑⃑⃑⃑=2πa1⃑⃑⃑∙(a2⃑⃑⃑⃑×a3⃑⃑⃑⃑)(a1⃑⃑⃑×a2⃑⃑⃑⃑)=2πa(i+j)（2）写出倒格矢：在倒格子空间中任取一个倒格点作为原点建立直角坐标系，则该空间中任意倒格点的位置均可由其对应的倒格矢给出：Kh⃑⃑⃑⃑=h1b1⃑⃑⃑⃑+h2b2⃑⃑⃑⃑+h3b3⃑⃑⃑⃑=2πa(h2+h3)i+2πa(h1+h3)j+2πa(h1+h2)k⃑h1,h2,h3=0,±1,±2,…（3）求边界方程：设倒格子空间中的任意波矢为：k⃑=kxi+kyj+kzk⃑容易找到，距离原点最近的12个倒格点的倒格矢为：Kh⃑⃑⃑⃑=2πa(±j±k⃑)Kh⃑⃑⃑⃑=2πa(±k⃑±i)Kh⃑⃑⃑⃑=2πa(±i±j)于是利用（1）式，可以求得这12个倒格矢的中垂面方程为：±ky±kz=2πa±kz±kx=2πa±kx±ky=2πa（4）画出布里渊区：上面所求得的12个中垂面刚好围成了体心立方的第一布里渊区，它是一个正十二面体，如图2-5所示。图2-5面心立方的第一布里渊区三、三维布里渊区的实物模型制作3.1面心立方第一布里渊区实物模型制作如上所述，面心立方的第一布里渊区是一个去顶角正八面体，为了得到其展开图，可以先画出正八面体的展开图。正八面体是由八个全等的正三角形面构成的，容易得到其展开图如图3-1所示。图3-1正八面体展开图下面，由于截去了六个顶角，将多出六个正方形面，而且原来的八个正三角形面变成了八个正六边形面，故这个去顶角正八面体的展开图如图3-2所示。图3-2去顶角正八面体展开图在硬纸上画出如图3-2的图形，剪下粘合，就可以得到面心立方第一布里渊区的实物模型。（具体的模型参见实物附件1）3.2体心立方第一布里渊区实物模型制作如上所述，体心立方的第一布里渊区是一个正十二面体，它由十二个全等的菱形组成。为了得到正十二面体的展开图，首先要确定每个菱形的对角线长。图3-3求菱形内角示意图如图3-3所示，以菱形ACBD为研究对象，连接AB和CD交于F，过F作FE⊥AO。由于OA和OB分别位于y轴和